Вариант 1 • 1. Упростите выражение: a) (x-3)(x-7)-2x (3x-5); б) 4а (а-2)-(a-4)2; в) 2(m+1)²-4m. 2. Разложите на множители: a) x³-9x; 6) - 5a²-10ab-5b2. 3. Упростите выражение (y2-2y)² - y² (y + 3) (y - 3) + 2y (2y² +5). 4. Разложите на множители: a) 16x4-81; б) х²-х-у-у. 5. Докажите, что выражение х2-4х+9 при любых значениях х принимает положительные значения.

Задание 1. Упростите выражение:

1. а) \[ (x-3)(x-7) - 2x(3x-5) = x^2 - 7x - 3x + 21 - 6x^2 + 10x = -5x^2 - 10x + 21 \]
2. б) \[ 4a(a-2) - (a-4)^2 = 4a^2 - 8a - (a^2 - 8a + 16) = 4a^2 - 8a - a^2 + 8a - 16 = 3a^2 - 16 \]
3. в) \[ 2(m+1)^2 - 4m = 2(m^2 + 2m + 1) - 4m = 2m^2 + 4m + 2 - 4m = 2m^2 + 2 \]

Задание 2. Разложите на множители:

1. а) \[ x^3 - 9x = x(x^2 - 9) = x(x - 3)(x + 3) \]
2. б) \[ -5a^2 - 10ab - 5b^2 = -5(a^2 + 2ab + b^2) = -5(a + b)^2 \]

Задание 3. Упростите выражение

\[ (y^2 - 2y)^2 - y^2(y + 3)(y - 3) + 2y(2y^2 + 5) = \\ y^4 - 4y^3 + 4y^2 - y^2(y^2 - 9) + 4y^3 + 10y = \\ y^4 - 4y^3 + 4y^2 - y^4 + 9y^2 + 4y^3 + 10y = \\ 13y^2 + 10y \]

Задание 4. Разложите на множители:

1. а) \[ 16x^4 - 81 = (4x^2 - 9)(4x^2 + 9) = (2x - 3)(2x + 3)(4x^2 + 9) \]
2. б) \[ x^2 - x - y^2 - y = (x^2 - y^2) - (x + y) = (x - y)(x + y) - (x + y) = (x + y)(x - y - 1) \]

Задание 5. Докажите, что выражение x²-4x+9 при любых значениях x принимает положительные значения.

\[ x^2 - 4x + 9 = (x^2 - 4x + 4) + 5 = (x - 2)^2 + 5 \]

Так как \[(x - 2)^2\] всегда неотрицательно (квадрат любого числа больше или равен нулю), а 5 - положительное число, то сумма \[(x - 2)^2 + 5\] всегда будет положительной при любых значениях x.