Вариант 2 • 1. Решите уравнение: K-6(§ 9) a) 3x+4 = x² б) + 8 = 2. x-5 x 12-16 12-16 2. Катер прошел 12 км против течения реки и 5 км по течению. При этом он затратил столько времени, сколько ему потребовалось бы, если бы он шел 18 км по озеру. Какова собственная скорость катера, если извест- но, что скорость течения реки равна 3 км/ч?

Давай решим уравнения и задачу про катер по порядку.

1. Решение уравнений:

Решим уравнение: \[\frac{3x+4}{x^2-16} = \frac{x}{x^2-16}\]

Так как знаменатели равны, можем приравнять числители:

\[3x+4 = x\]

Перенесем \(x\) в левую часть, а \(4\) в правую:

\[3x - x = -4\]

\[2x = -4\]

\[x = -2\]

Ответ: x = -2

Решим уравнение: \[\frac{3}{x-5} + \frac{8}{x} = 2\]

Приведем дроби к общему знаменателю:

\[\frac{3x + 8(x-5)}{x(x-5)} = 2\]

\[\frac{3x + 8x - 40}{x^2 - 5x} = 2\]

\[\frac{11x - 40}{x^2 - 5x} = 2\]

Умножим обе части на \(x^2 - 5x\):

\[11x - 40 = 2(x^2 - 5x)\]

\[11x - 40 = 2x^2 - 10x\]

Перенесем все в правую часть:

\[2x^2 - 10x - 11x + 40 = 0\]

\[2x^2 - 21x + 40 = 0\]

Решим квадратное уравнение через дискриминант:

\[D = (-21)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 40 = 441 - 320 = 121\]

\[x_1 = \frac{21 + \sqrt{121}}{2 \cdot 2} = \frac{21 + 11}{4} = \frac{32}{4} = 8\]

\[x_2 = \frac{21 - \sqrt{121}}{2 \cdot 2} = \frac{21 - 11}{4} = \frac{10}{4} = 2.5\]

Ответ: x = 8 и x = 2.5

2. Задача про катер:

Пусть \(v\) – собственная скорость катера. Тогда скорость катера против течения реки равна \(v - 3\), а по течению \(v + 3\). Время, затраченное на путь против течения, равно \(\frac{12}{v-3}\), а на путь по течению – \(\frac{5}{v+3}\). Общее время равно сумме этих времен:

\[t = \frac{12}{v-3} + \frac{5}{v+3}\]

Время, затраченное на путь по озеру, равно \(\frac{18}{v}\). По условию эти времена равны:

\[\frac{12}{v-3} + \frac{5}{v+3} = \frac{18}{v}\]

Приведем к общему знаменателю:

\[\frac{12(v+3) + 5(v-3)}{(v-3)(v+3)} = \frac{18}{v}\]

\[\frac{12v + 36 + 5v - 15}{v^2 - 9} = \frac{18}{v}\]

\[\frac{17v + 21}{v^2 - 9} = \frac{18}{v}\]

Умножим крест-накрест:

\[v(17v + 21) = 18(v^2 - 9)\]

\[17v^2 + 21v = 18v^2 - 162\]

\[v^2 - 21v - 162 = 0\]

Найдем дискриминант:

\[D = (-21)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-162) = 441 + 648 = 1089\]

\[v_1 = \frac{21 + \sqrt{1089}}{2} = \frac{21 + 33}{2} = \frac{54}{2} = 27\]

\[v_2 = \frac{21 - \sqrt{1089}}{2} = \frac{21 - 33}{2} = \frac{-12}{2} = -6\]

Так как скорость не может быть отрицательной, то собственная скорость катера равна 27 км/ч.