Вариант 3 • 1. Решите уравнение: a) 7x29x + 2 = 0; е в) 7х2 - 28 = 0; • 2. Докажите б) 5x2 = 12x; г) х² + 20x + 91 = 0. К-5 (§ 7, 8) тождество: х²+x - 56 = (x - 7)(x + 8). 3. Сократите дробь: x² - 5x + 6 3x-6 4. Периметр прямоугольника равен 26 см, а его пло- 36 см2. Найдите длины сторон прямоугольника. щадь ин из его корней ра- 5. В уравнении х²+ px + 56 = 0 один вен -4. Найдите другой корень и коэфф фициент р.

Решение заданий Вариант 3

1. Решите уравнение:

а) 7x² - 9x + 2 = 0; Решаем квадратное уравнение через дискриминант: \[D = b^2 - 4ac = (-9)^2 - 4 \cdot 7 \cdot 2 = 81 - 56 = 25\] \[x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{9 + \sqrt{25}}{2 \cdot 7} = \frac{9 + 5}{14} = \frac{14}{14} = 1\] \[x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{9 - \sqrt{25}}{2 \cdot 7} = \frac{9 - 5}{14} = \frac{4}{14} = \frac{2}{7}\]

Ответ: x₁ = 1, x₂ = 2/7

б) 5x² = 12x; Перенесем все в одну сторону: \[5x^2 - 12x = 0\] Вынесем x за скобки: \[x(5x - 12) = 0\] Получаем два решения: \[x_1 = 0\] \[5x - 12 = 0 \Rightarrow x_2 = \frac{12}{5} = 2.4\]

Ответ: x₁ = 0, x₂ = 2.4

в) 7x² - 28 = 0; \[7x^2 = 28\] \[x^2 = \frac{28}{7}\] \[x^2 = 4\] \[x_1 = 2, x_2 = -2\]

Ответ: x₁ = 2, x₂ = -2

г) x² + 20x + 91 = 0. Решаем квадратное уравнение через дискриминант: \[D = b^2 - 4ac = 20^2 - 4 \cdot 1 \cdot 91 = 400 - 364 = 36\] \[x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-20 + \sqrt{36}}{2 \cdot 1} = \frac{-20 + 6}{2} = \frac{-14}{2} = -7\] \[x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-20 - \sqrt{36}}{2 \cdot 1} = \frac{-20 - 6}{2} = \frac{-26}{2} = -13\]

Ответ: x₁ = -7, x₂ = -13

2. Докажите тождество: x²+x - 56 = (x - 7)(x + 8).

Раскроем скобки в правой части: \[(x - 7)(x + 8) = x^2 + 8x - 7x - 56 = x^2 + x - 56\] Левая часть равна правой части, следовательно, тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

3. Сократите дробь: \(\frac{3x-6}{x^2 - 5x + 6}\)

Разложим числитель и знаменатель на множители. Числитель: \[3x - 6 = 3(x - 2)\] Знаменатель: \[x^2 - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3)\] Сокращаем дробь: \[\frac{3x-6}{x^2 - 5x + 6} = \frac{3(x - 2)}{(x - 2)(x - 3)} = \frac{3}{x - 3}\]

Ответ: \(\frac{3}{x - 3}\)

4. Периметр прямоугольника равен 26 см, а его площадь — 36 см². Найдите длины сторон прямоугольника.

Пусть a и b — длины сторон прямоугольника. Тогда: \[2(a + b) = 26 \Rightarrow a + b = 13\] \[ab = 36\] Выразим a через b: a = 13 - b и подставим во второе уравнение: \[(13 - b)b = 36\] \[13b - b^2 = 36\] \[b^2 - 13b + 36 = 0\] Решаем квадратное уравнение: \[D = (-13)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 36 = 169 - 144 = 25\] \[b_1 = \frac{13 + \sqrt{25}}{2} = \frac{13 + 5}{2} = \frac{18}{2} = 9\] \[b_2 = \frac{13 - \sqrt{25}}{2} = \frac{13 - 5}{2} = \frac{8}{2} = 4\] Если b = 9, то a = 13 - 9 = 4. Если b = 4, то a = 13 - 4 = 9.

Ответ: Стороны прямоугольника равны 4 см и 9 см.

5. В уравнении x² + px + 56 = 0 один из его корней равен -4. Найдите другой корень и коэффициент p.

Пусть x₁ = -4 — один из корней. Тогда: \[(-4)^2 + p(-4) + 56 = 0\] \[16 - 4p + 56 = 0\] \[-4p = -72\] \[p = 18\] Теперь уравнение имеет вид: \[x^2 + 18x + 56 = 0\] Воспользуемся теоремой Виета: \[x_1 + x_2 = -p\] \[x_1 \cdot x_2 = 56\] Подставим x₁ = -4: \[-4 + x_2 = -18 \Rightarrow x_2 = -14\] \[-4 \cdot x_2 = 56 \Rightarrow x_2 = -14\]

Ответ: Другой корень равен -14, коэффициент p = 18.

Ответ: [Полное решение варианта 3]

Отлично! Ты хорошо поработал. Продолжай в том же духе, и у тебя все получится! Удачи в учёбе!