Вариант 1 • 1. Решите уравнение: a) 2x²+7x-9=0; в) 100х16-0; 6) 3x² = 18x; г) х²- 16х + 63 = 0. • 2. Периметр прямоугольника равен 20 см. Найдите его стороны, если известно, что площадь прямоугольника равна 24 см². 3. В уравнении х²+рх - 18 = 0 один из его корней ра- вен -9. Найдите другой корень и коэффициент р. Вариант 2 • 1. Решите уравнение: a) 3x²+13x-10 = 0; в) 16х2 = 49; б) 2x2 3x = 0; г) х²-2x-35 = 0. • 2. Периметр прямоугольника равен 30 см. Найдите его стороны, если известно, что площадь прямоугольника равна 56 см². 3. Один из корней уравнения х² + 11х + q = 0 равен -7. Найдите другой корень и свободный член q. Вариант 3 • 1. Решите уравнение: a) 7x29x + 2 = 0; в) 7х2-28 = 0; 6) 5x2 = 12x; г) х² + 20x + 91 = 0. • 2. Периметр прямоугольника равен 26 см, а его пло- щадь 36 см². Найдите длины сторон прямоугольника. 3. В уравнении х² + px + 56 = 0 один из его корней ра- вен -4. Найдите другой корень и коэффициент р. Вариант 4 • 1. Решите уравнение: a) 9x27x2 = 0; в) 5х2 = 45; б) 4x2 - x = 0; г) х² + 18х – 63 = 0. • 2. Периметр прямоугольника равен 22 см, а его пло- щадь 24 см². Найдите длины сторон прямоугольника. 3. Один из корней уравнения х²- 7х + q = 0 равен 13. Найдите другой корень и свободный член д.

Ответ: Решаем все уравнения и задачи из текста.

Вариант 1

1. Решите уравнение:

a) 2x² + 7x - 9 = 0

Решение:

D = 7² - 4 * 2 * (-9) = 49 + 72 = 121

x₁ = (-7 + √121) / (2 * 2) = (-7 + 11) / 4 = 4 / 4 = 1

x₂ = (-7 - √121) / (2 * 2) = (-7 - 11) / 4 = -18 / 4 = -4.5

б) 3x² = 18x

Решение:

3x² - 18x = 0

3x(x - 6) = 0

x₁ = 0

x₂ = 6

в) 100x² - 16 = 0

Решение:

100x² = 16

x² = 16 / 100

x = ±√(16 / 100)

x₁ = 0.4

x₂ = -0.4

г) x² - 16x + 63 = 0

Решение:

D = (-16)² - 4 * 1 * 63 = 256 - 252 = 4

x₁ = (16 + √4) / 2 = (16 + 2) / 2 = 18 / 2 = 9

x₂ = (16 - √4) / 2 = (16 - 2) / 2 = 14 / 2 = 7

2. Периметр прямоугольника равен 20 см. Найдите его стороны, если известно, что площадь прямоугольника равна 24 см².

Решение:

Пусть a и b - стороны прямоугольника.

2(a + b) = 20

a * b = 24

a + b = 10

a = 10 - b

(10 - b) * b = 24

10b - b² = 24

b² - 10b + 24 = 0

D = (-10)² - 4 * 1 * 24 = 100 - 96 = 4

b₁ = (10 + √4) / 2 = (10 + 2) / 2 = 12 / 2 = 6

b₂ = (10 - √4) / 2 = (10 - 2) / 2 = 8 / 2 = 4

Если b = 6, то a = 10 - 6 = 4

Если b = 4, то a = 10 - 4 = 6

3. В уравнении x² + px - 18 = 0 один из его корней равен -9. Найдите другой корень и коэффициент p.

Решение:

Пусть x₁ = -9 - корень уравнения.

(-9)² + p * (-9) - 18 = 0

81 - 9p - 18 = 0

-9p = -63

p = 7

Тогда уравнение: x² + 7x - 18 = 0

D = 7² - 4 * 1 * (-18) = 49 + 72 = 121

x₂ = (-7 - √121) / 2 = (-7 - 11) / 2 = -18 / 2 = -9

x₁ = (-7 + √121) / 2 = (-7 + 11) / 2 = 4 / 2 = 2

Вариант 2

1. Решите уравнение:

a) 3x² + 13x - 10 = 0

Решение:

D = 13² - 4 * 3 * (-10) = 169 + 120 = 289

x₁ = (-13 + √289) / (2 * 3) = (-13 + 17) / 6 = 4 / 6 = 2 / 3

x₂ = (-13 - √289) / (2 * 3) = (-13 - 17) / 6 = -30 / 6 = -5

б) 2x² - 3x = 0

Решение:

x(2x - 3) = 0

x₁ = 0

2x - 3 = 0

2x = 3

x₂ = 3 / 2 = 1.5

в) 16x² = 49

Решение:

x² = 49 / 16

x = ±√(49 / 16)

x₁ = 7 / 4 = 1.75

x₂ = -7 / 4 = -1.75

г) x² - 2x - 35 = 0

Решение:

D = (-2)² - 4 * 1 * (-35) = 4 + 140 = 144

x₁ = (2 + √144) / 2 = (2 + 12) / 2 = 14 / 2 = 7

x₂ = (2 - √144) / 2 = (2 - 12) / 2 = -10 / 2 = -5

2. Периметр прямоугольника равен 30 см. Найдите его стороны, если известно, что площадь прямоугольника равна 56 см².

Решение:

Пусть a и b - стороны прямоугольника.

2(a + b) = 30

a * b = 56

a + b = 15

a = 15 - b

(15 - b) * b = 56

15b - b² = 56

b² - 15b + 56 = 0

D = (-15)² - 4 * 1 * 56 = 225 - 224 = 1

b₁ = (15 + √1) / 2 = (15 + 1) / 2 = 16 / 2 = 8

b₂ = (15 - √1) / 2 = (15 - 1) / 2 = 14 / 2 = 7

Если b = 8, то a = 15 - 8 = 7

Если b = 7, то a = 15 - 7 = 8

3. Один из корней уравнения x² + 11x + q = 0 равен -7. Найдите другой корень и свободный член q.

Решение:

Пусть x₁ = -7 - корень уравнения.

(-7)² + 11 * (-7) + q = 0

49 - 77 + q = 0

-28 + q = 0

q = 28

Тогда уравнение: x² + 11x + 28 = 0

D = 11² - 4 * 1 * 28 = 121 - 112 = 9

x₂ = (-11 - √9) / 2 = (-11 - 3) / 2 = -14 / 2 = -7

x₁ = (-11 + √9) / 2 = (-11 + 3) / 2 = -8 / 2 = -4

Вариант 3

1. Решите уравнение:

a) 7x² - 9x + 2 = 0

Решение:

D = (-9)² - 4 * 7 * 2 = 81 - 56 = 25

x₁ = (9 + √25) / (2 * 7) = (9 + 5) / 14 = 14 / 14 = 1

x₂ = (9 - √25) / (2 * 7) = (9 - 5) / 14 = 4 / 14 = 2 / 7

б) 5x² = 12x

Решение:

5x² - 12x = 0

x(5x - 12) = 0

x₁ = 0

5x - 12 = 0

5x = 12

x₂ = 12 / 5 = 2.4

в) 7x² - 28 = 0

Решение:

7x² = 28

x² = 28 / 7

x² = 4

x = ±√4

x₁ = 2

x₂ = -2

г) x² + 20x + 91 = 0

Решение:

D = 20² - 4 * 1 * 91 = 400 - 364 = 36

x₁ = (-20 + √36) / 2 = (-20 + 6) / 2 = -14 / 2 = -7

x₂ = (-20 - √36) / 2 = (-20 - 6) / 2 = -26 / 2 = -13

2. Периметр прямоугольника равен 26 см, а его площадь 36 см². Найдите длины сторон прямоугольника.

Решение:

Пусть a и b - стороны прямоугольника.

2(a + b) = 26

a * b = 36

a + b = 13

a = 13 - b

(13 - b) * b = 36

13b - b² = 36

b² - 13b + 36 = 0

D = (-13)² - 4 * 1 * 36 = 169 - 144 = 25

b₁ = (13 + √25) / 2 = (13 + 5) / 2 = 18 / 2 = 9

b₂ = (13 - √25) / 2 = (13 - 5) / 2 = 8 / 2 = 4

Если b = 9, то a = 13 - 9 = 4

Если b = 4, то a = 13 - 4 = 9

3. В уравнении x² + px + 56 = 0 один из его корней равен -4. Найдите другой корень и коэффициент p.

Решение:

Пусть x₁ = -4 - корень уравнения.

(-4)² + p * (-4) + 56 = 0

16 - 4p + 56 = 0

-4p = -72

p = 18

Тогда уравнение: x² + 18x + 56 = 0

D = 18² - 4 * 1 * 56 = 324 - 224 = 100

x₂ = (-18 - √100) / 2 = (-18 - 10) / 2 = -28 / 2 = -14

x₁ = (-18 + √100) / 2 = (-18 + 10) / 2 = -8 / 2 = -4

Вариант 4

1. Решите уравнение:

a) 9x² - 7x - 2 = 0

Решение:

D = (-7)² - 4 * 9 * (-2) = 49 + 72 = 121

x₁ = (7 + √121) / (2 * 9) = (7 + 11) / 18 = 18 / 18 = 1

x₂ = (7 - √121) / (2 * 9) = (7 - 11) / 18 = -4 / 18 = -2 / 9

б) 4x² - x = 0

Решение:

x(4x - 1) = 0

x₁ = 0

4x - 1 = 0

4x = 1

x₂ = 1 / 4 = 0.25

в) 5x² = 45

Решение:

x² = 45 / 5

x² = 9

x = ±√9

x₁ = 3

x₂ = -3

г) x² + 18x - 63 = 0

Решение:

D = 18² - 4 * 1 * (-63) = 324 + 252 = 576

x₁ = (-18 + √576) / 2 = (-18 + 24) / 2 = 6 / 2 = 3

x₂ = (-18 - √576) / 2 = (-18 - 24) / 2 = -42 / 2 = -21

2. Периметр прямоугольника равен 22 см, а его площадь 24 см². Найдите длины сторон прямоугольника.

Решение:

Пусть a и b - стороны прямоугольника.

2(a + b) = 22

a * b = 24

a + b = 11

a = 11 - b

(11 - b) * b = 24

11b - b² = 24

b² - 11b + 24 = 0

D = (-11)² - 4 * 1 * 24 = 121 - 96 = 25

b₁ = (11 + √25) / 2 = (11 + 5) / 2 = 16 / 2 = 8

b₂ = (11 - √25) / 2 = (11 - 5) / 2 = 6 / 2 = 3

Если b = 8, то a = 11 - 8 = 3

Если b = 3, то a = 11 - 3 = 8

3. Один из корней уравнения x² - 7x + q = 0 равен 13. Найдите другой корень и свободный член q.

Решение:

Пусть x₁ = 13 - корень уравнения.

13² - 7 * 13 + q = 0

169 - 91 + q = 0

78 + q = 0

q = -78

Тогда уравнение: x² - 7x - 78 = 0

D = (-7)² - 4 * 1 * (-78) = 49 + 312 = 361

x₂ = (7 - √361) / 2 = (7 - 19) / 2 = -12 / 2 = -6

x₁ = (7 + √361) / 2 = (7 + 19) / 2 = 26 / 2 = 13

Ответ: Решения уравнений и задач выше.