Вариант 1 • 1. Решите уравнение: a) 2x²+7x-9 = 0; в) 100х2 – 16 = 0; б) 3x² = 18x; г) х² - 16х + 63 = 0. • 2. Докажите тождество: 6x2 – 7x + 2 = (3x-2)(2x – 1). 3. Сократите дробь: 4x²+10x - 6 x+3 4. Периметр прямоугольника равен 20 см. Найдите его на 24 см². стороны, если известно, что площадь прямоугольника рав- 5. В уравнении х² + px – 18 = 0 один из его корней ра- вен -9. Найдите другой корень и коэффициент р. Вариант 2 • 1. Решите уравнение: a) 3x² + 13x-10 = 0;. в) 16x2 = 49; б) 2x² - 3x = 0; г) х² - 2x – 35 = 0. К-5 (§ 7, 8) • 2. Докажите тождество: 4x² + 27x + 18 = (4x + 3)(x + 6). 3. Сократите дробь: x²-x-2 2x + 2 В см². 4. Периметр прямоугольника равен 30 см. Найдите его оны, если известно, что площадь прямоугольника рав- е другой корень и свободный член q. Один из корней уравнения х² + 11x + q = 0 равен -7.

Вариант 1

1. Решите уравнение:

a) Решим уравнение \( 2x^2 + 7x - 9 = 0 \) через дискриминант: \[ D = b^2 - 4ac = 7^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-9) = 49 + 72 = 121 \] \[ x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-7 + \sqrt{121}}{2 \cdot 2} = \frac{-7 + 11}{4} = \frac{4}{4} = 1 \] \[ x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-7 - \sqrt{121}}{2 \cdot 2} = \frac{-7 - 11}{4} = \frac{-18}{4} = -4.5 \] б) Решим уравнение \( 3x^2 = 18x \): \[ 3x^2 - 18x = 0 \] \[ 3x(x - 6) = 0 \] \[ x_1 = 0, \quad x_2 = 6 \] в) Решим уравнение \( 100x^2 - 16 = 0 \): \[ 100x^2 = 16 \] \[ x^2 = \frac{16}{100} = \frac{4}{25} \] \[ x_1 = \frac{2}{5} = 0.4, \quad x_2 = -\frac{2}{5} = -0.4 \] г) Решим уравнение \( x^2 - 16x + 63 = 0 \) через теорему Виета: \[ x_1 + x_2 = 16, \quad x_1 \cdot x_2 = 63 \] \[ x_1 = 7, \quad x_2 = 9 \]

2. Докажите тождество: \( 6x^2 – 7x + 2 = (3x-2)(2x – 1) \).

Раскроем скобки в правой части: \[ (3x - 2)(2x - 1) = 6x^2 - 3x - 4x + 2 = 6x^2 - 7x + 2 \] Тождество доказано.

3. Сократите дробь: \( \frac{4x^2+10x - 6}{x+3} \)

Разложим числитель на множители. Сначала решим уравнение \( 4x^2 + 10x - 6 = 0 \): \[ D = 10^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-6) = 100 + 96 = 196 \] \[ x_1 = \frac{-10 + \sqrt{196}}{2 \cdot 4} = \frac{-10 + 14}{8} = \frac{4}{8} = 0.5 \] \[ x_2 = \frac{-10 - \sqrt{196}}{2 \cdot 4} = \frac{-10 - 14}{8} = \frac{-24}{8} = -3 \] Значит, \( 4x^2 + 10x - 6 = 4(x - 0.5)(x + 3) \). Сократим дробь: \[ \frac{4(x - 0.5)(x + 3)}{x + 3} = 4(x - 0.5) = 4x - 2 \]

4. Периметр прямоугольника равен 20 см. Найдите его стороны, если известно, что площадь прямоугольника равна 24 см².

Пусть \( a \) и \( b \) - стороны прямоугольника. Тогда: \[ 2(a + b) = 20 \quad \Rightarrow \quad a + b = 10 \] \[ a \cdot b = 24 \] Выразим \( b \) через \( a \): \( b = 10 - a \). Подставим в уравнение площади: \[ a(10 - a) = 24 \] \[ 10a - a^2 = 24 \] \[ a^2 - 10a + 24 = 0 \] Решим квадратное уравнение: \[ D = (-10)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 24 = 100 - 96 = 4 \] \[ a_1 = \frac{10 + \sqrt{4}}{2} = \frac{10 + 2}{2} = 6 \] \[ a_2 = \frac{10 - \sqrt{4}}{2} = \frac{10 - 2}{2} = 4 \] Если \( a = 6 \), то \( b = 10 - 6 = 4 \). Если \( a = 4 \), то \( b = 10 - 4 = 6 \). Таким образом, стороны прямоугольника равны 4 см и 6 см.

5. В уравнении \( x^2 + px – 18 = 0 \) один из его корней равен -9. Найдите другой корень и коэффициент \( p \).

Пусть \( x_1 = -9 \) - один из корней уравнения. Подставим его в уравнение: \[ (-9)^2 + p(-9) - 18 = 0 \] \[ 81 - 9p - 18 = 0 \] \[ 63 - 9p = 0 \] \[ 9p = 63 \] \[ p = 7 \] Тогда уравнение имеет вид: \( x^2 + 7x - 18 = 0 \). Найдем второй корень \( x_2 \) через теорему Виета: \[ x_1 + x_2 = -p = -7 \] \[ -9 + x_2 = -7 \] \[ x_2 = 2 \]

Вариант 2

1. Решите уравнение:

a) Решим уравнение \( 3x^2 + 13x - 10 = 0 \): \[ D = 13^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-10) = 169 + 120 = 289 \] \[ x_1 = \frac{-13 + \sqrt{289}}{2 \cdot 3} = \frac{-13 + 17}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3} \] \[ x_2 = \frac{-13 - \sqrt{289}}{2 \cdot 3} = \frac{-13 - 17}{6} = \frac{-30}{6} = -5 \] б) Решим уравнение \( 2x^2 - 3x = 0 \): \[ x(2x - 3) = 0 \] \[ x_1 = 0, \quad x_2 = \frac{3}{2} = 1.5 \] в) Решим уравнение \( 16x^2 = 49 \): \[ x^2 = \frac{49}{16} \] \[ x_1 = \frac{7}{4} = 1.75, \quad x_2 = -\frac{7}{4} = -1.75 \] г) Решим уравнение \( x^2 - 2x - 35 = 0 \) через теорему Виета: \[ x_1 + x_2 = 2, \quad x_1 \cdot x_2 = -35 \] \[ x_1 = 7, \quad x_2 = -5 \]

2. Докажите тождество: \( 4x^2 + 27x + 18 = (4x + 3)(x + 6) \).

Раскроем скобки в правой части: \[ (4x + 3)(x + 6) = 4x^2 + 24x + 3x + 18 = 4x^2 + 27x + 18 \] Тождество доказано.

3. Сократите дробь: \( \frac{x^2-x-2}{2x + 2} \)

Разложим числитель на множители. Сначала решим уравнение \( x^2 - x - 2 = 0 \) через теорему Виета: \[ x_1 + x_2 = 1, \quad x_1 \cdot x_2 = -2 \] \[ x_1 = 2, \quad x_2 = -1 \] Значит, \( x^2 - x - 2 = (x - 2)(x + 1) \). Сократим дробь: \[ \frac{(x - 2)(x + 1)}{2(x + 1)} = \frac{x - 2}{2} \]

4. Периметр прямоугольника равен 30 см. Найдите его стороны, если известно, что площадь прямоугольника равна 56 см².

Пусть \( a \) и \( b \) - стороны прямоугольника. Тогда: \[ 2(a + b) = 30 \quad \Rightarrow \quad a + b = 15 \] \[ a \cdot b = 56 \] Выразим \( b \) через \( a \): \( b = 15 - a \). Подставим в уравнение площади: \[ a(15 - a) = 56 \] \[ 15a - a^2 = 56 \] \[ a^2 - 15a + 56 = 0 \] Решим квадратное уравнение: \[ D = (-15)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 56 = 225 - 224 = 1 \] \[ a_1 = \frac{15 + \sqrt{1}}{2} = \frac{15 + 1}{2} = 8 \] \[ a_2 = \frac{15 - \sqrt{1}}{2} = \frac{15 - 1}{2} = 7 \] Если \( a = 8 \), то \( b = 15 - 8 = 7 \). Если \( a = 7 \), то \( b = 15 - 7 = 8 \). Таким образом, стороны прямоугольника равны 7 см и 8 см.

5. Один из корней уравнения \( x^2 + 11x + q = 0 \) равен -7. Найдите другой корень и свободный член \( q \).

Пусть \( x_1 = -7 \) - один из корней уравнения. Подставим его в уравнение: \[ (-7)^2 + 11(-7) + q = 0 \] \[ 49 - 77 + q = 0 \] \[ -28 + q = 0 \] \[ q = 28 \] Тогда уравнение имеет вид: \( x^2 + 11x + 28 = 0 \). Найдем второй корень \( x_2 \) через теорему Виета: \[ x_1 + x_2 = -11 \] \[ -7 + x_2 = -11 \] \[ x_2 = -4 \]

Проверка за 10 секунд: Убедись, что найденные корни и коэффициенты соответствуют уравнениям и условиям задач.

Читерский прием: Используй теорему Виета для быстрой проверки корней квадратных уравнений.