Вариант 1 • 1. Решите уравнение: а) x²/x²-9 = (12-x)/(x²-9) б) 6/(x-2) + 5/x = 3. 2. Из пункта А в пункт В велосипедист проехал по од ной дороге длиной 27 км, а обратно возвращался по дру гой дороге, которая была короче первой на 7 км. Хотя на обратном пути велосипедист уменьшил скорость на 3 км/ч, он все же на обратный путь затратил времени на 10 мин меньше, чем на путь из А в В. С какой ско- ростью ехал велосипедист из А в В?

Ответ: а) x = 12; б) x = 1 и x = 4

1. Решим уравнение:

а) \[\frac{x^2}{x^2-9} = \frac{12-x}{x^2-9}\]

ОДЗ: x ≠ ±3

При x ≠ ±3 имеем:

\[x^2 = 12 - x\]

\[x^2 + x - 12 = 0\]

\[D = 1 + 4 \cdot 12 = 49 = 7^2\]

\[x_1 = \frac{-1 + 7}{2} = 3, x_2 = \frac{-1 - 7}{2} = -4\]

x = 3 - посторонний корень, так как не входит в ОДЗ.

Ответ: x = -4

б) \(\frac{6}{x-2} + \frac{5}{x} = 3\)

ОДЗ: x ≠ 0, x ≠ 2

\[\frac{6x + 5(x-2) - 3x(x-2)}{x(x-2)} = 0\]

\[\frac{6x + 5x - 10 - 3x^2 + 6x}{x(x-2)} = 0\]

\[\frac{-3x^2 + 17x - 10}{x(x-2)} = 0\]

\[-3x^2 + 17x - 10 = 0\]

\[3x^2 - 17x + 10 = 0\]

\[D = 17^2 - 4 \cdot 3 \cdot 10 = 289 - 120 = 169 = 13^2\]

\[x_1 = \frac{17 + 13}{2 \cdot 3} = \frac{30}{6} = 5, x_2 = \frac{17 - 13}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}\]

Оба корня входят в ОДЗ

Ответ: x = 5 и x = 2/3

2. Решим задачу:

• Пусть x км/ч - скорость велосипедиста из пункта А в пункт В.
• Тогда x - 3 км/ч - скорость велосипедиста на обратном пути.
• Время, затраченное на путь из А в В равно \(\frac{27}{x}\) ч.
• Время, затраченное на обратный путь равно \(\frac{27-7}{x-3} = \frac{20}{x-3}\) ч.
• Из условия задачи известно, что на обратный путь велосипедист затратил на 10 минут меньше, чем на путь из А в В, то есть на \(\frac{1}{6}\) часа.

Составим и решим уравнение:

\[\frac{27}{x} - \frac{20}{x-3} = \frac{1}{6}\]

\[\frac{27 \cdot 6 \cdot (x-3) - 20 \cdot 6 \cdot x - x(x-3)}{6x(x-3)} = 0\]

\[162(x-3) - 120x - x^2 + 3x = 0\]

\[162x - 486 - 120x - x^2 + 3x = 0\]

\[-x^2 + 45x - 486 = 0\]

\[x^2 - 45x + 486 = 0\]

\[D = 45^2 - 4 \cdot 486 = 2025 - 1944 = 81 = 9^2\]

\[x_1 = \frac{45 + 9}{2} = 27, x_2 = \frac{45 - 9}{2} = 18\]

• Если скорость велосипедиста 27 км/ч, то на обратном пути он ехал со скоростью 27 - 3 = 24 км/ч.
• Если скорость велосипедиста 18 км/ч, то на обратном пути он ехал со скоростью 18 - 3 = 15 км/ч.

Ответ: 27 км/ч или 18 км/ч

Ответ: а) x = -4; б) x = 5 и x = 2/3; 27 км/ч или 18 км/ч