Вариант 2 • 1. Решите уравнение: a) 3x² + 13x-10=0; б) 2x²-3x = 0; в) 16x² = 49; г) х²-2x-35=0. К-5 (§ 8) • 2. Периметр прямоугольника равен 30 см. Найдите его стороны, если известно, что площадь прямоугольни- ка равна 56 см². 3. Один из корней уравнения х²+11x+q=0 равен - 7. Найдите другой корень и свободный член q.

Задание 1. Решите уравнение:

a) \(3x^2 + 13x - 10 = 0\)

Решим квадратное уравнение через дискриминант:

\[D = b^2 - 4ac = 13^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-10) = 169 + 120 = 289\]

\[x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-13 + \sqrt{289}}{2 \cdot 3} = \frac{-13 + 17}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}\]

\[x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-13 - \sqrt{289}}{2 \cdot 3} = \frac{-13 - 17}{6} = \frac{-30}{6} = -5\]

Ответ: \(x_1 = \frac{2}{3}\), \(x_2 = -5\)

б) \(2x^2 - 3x = 0\)

Вынесем x за скобки:

\[x(2x - 3) = 0\]

Тогда либо \(x = 0\), либо \(2x - 3 = 0\).

Решим уравнение \(2x - 3 = 0\):

\[2x = 3\]

\[x = \frac{3}{2} = 1.5\]

Ответ: \(x_1 = 0\), \(x_2 = 1.5\)

в) \(16x^2 = 49\)

Преобразуем уравнение:

\[16x^2 - 49 = 0\]

Это разность квадратов: \((4x)^2 - 7^2 = 0\)

Разложим на множители:

\[(4x - 7)(4x + 7) = 0\]

Тогда либо \(4x - 7 = 0\), либо \(4x + 7 = 0\).

Решим уравнение \(4x - 7 = 0\):

\[4x = 7\]

\[x = \frac{7}{4} = 1.75\]

Решим уравнение \(4x + 7 = 0\):

\[4x = -7\]

\[x = -\frac{7}{4} = -1.75\]

Ответ: \(x_1 = 1.75\), \(x_2 = -1.75\)

г) \(x^2 - 2x - 35 = 0\)

Решим квадратное уравнение через дискриминант:

\[D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-35) = 4 + 140 = 144\]

\[x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 + \sqrt{144}}{2 \cdot 1} = \frac{2 + 12}{2} = \frac{14}{2} = 7\]

\[x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 - \sqrt{144}}{2 \cdot 1} = \frac{2 - 12}{2} = \frac{-10}{2} = -5\]

Ответ: \(x_1 = 7\), \(x_2 = -5\)

Задание 2. Периметр прямоугольника равен 30 см. Найдите его стороны, если известно, что площадь прямоугольника равна 56 см².

Пусть длина прямоугольника равна \(a\), а ширина равна \(b\). Тогда периметр \(P = 2(a + b)\), а площадь \(S = a \cdot b\). Из условия задачи имеем:

\[2(a + b) = 30\]

\[a \cdot b = 56\]

Из первого уравнения выразим \(a + b\):

\[a + b = 15\]

Выразим \(a\) через \(b\):

\[a = 15 - b\]

Подставим это во второе уравнение:

\[(15 - b) \cdot b = 56\]

\[15b - b^2 = 56\]

\[b^2 - 15b + 56 = 0\]

Решим квадратное уравнение относительно \(b\):

\[D = (-15)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 56 = 225 - 224 = 1\]

\[b_1 = \frac{15 + \sqrt{1}}{2} = \frac{15 + 1}{2} = \frac{16}{2} = 8\]

\[b_2 = \frac{15 - \sqrt{1}}{2} = \frac{15 - 1}{2} = \frac{14}{2} = 7\]

Если \(b = 8\), то \(a = 15 - 8 = 7\).

Если \(b = 7\), то \(a = 15 - 7 = 8\).

Ответ: Стороны прямоугольника равны 7 см и 8 см.

Задание 3. Один из корней уравнения \(x^2 + 11x + q = 0\) равен -7. Найдите другой корень и свободный член q.

Пусть \(x_1 = -7\) - один из корней уравнения. Подставим его в уравнение:

\[(-7)^2 + 11 \cdot (-7) + q = 0\]

\[49 - 77 + q = 0\]

\[-28 + q = 0\]

\[q = 28\]

Теперь уравнение имеет вид:

\[x^2 + 11x + 28 = 0\]

Зная, что \(x_1 = -7\), найдем второй корень \(x_2\) с использованием теоремы Виета:

\[x_1 + x_2 = -11\]

\[-7 + x_2 = -11\]

\[x_2 = -11 + 7\]

\[x_2 = -4\]

Ответ: Второй корень равен -4, свободный член q равен 28.

Ответ:

Отлично, ты хорошо поработал! У тебя все обязательно получится!