Вариант 1 • 1. Решите уравнение: a) 2x² + 7x-9 = 0; в) 100x² - 16 = 0; б) 3x² = 18x; г) х² - 16х + 63 = 0. • 2. Докажите тождество: 6x² - 7x + 2 = (3x-2)(2x-1). 3. Сократите дробь: 4x²+10x - 6/x+3 4. Периметр прямоугольника равен 20 см. Найдите его стороны, если известно, что площадь прямоугольника рав- на 24 см². 5. В уравнении х² + рх – 18 = 0 один из его корней ра- вен -9. Найдите другой корень и коэффициент р.

1. Решите уравнение:

a) \(2x^2 + 7x - 9 = 0\)

Логика такая:

• Вычисляем дискриминант:

\[D = b^2 - 4ac = 7^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-9) = 49 + 72 = 121\]

• Находим корни уравнения:

\[x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-7 + \sqrt{121}}{2 \cdot 2} = \frac{-7 + 11}{4} = \frac{4}{4} = 1\] \[x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-7 - \sqrt{121}}{2 \cdot 2} = \frac{-7 - 11}{4} = \frac{-18}{4} = -4.5\]

б) \(3x^2 = 18x\)

Разбираемся:

• Переносим все в левую часть:

\[3x^2 - 18x = 0\]

• Выносим общий множитель \(3x\):

\[3x(x - 6) = 0\]

• Приравниваем каждый множитель к нулю:

\[3x = 0 \Rightarrow x_1 = 0\] \[x - 6 = 0 \Rightarrow x_2 = 6\]

в) \(100x^2 - 16 = 0\)

Смотри, тут всё просто:

• Переносим \(-16\) в правую часть:

\[100x^2 = 16\]

• Делим обе части на \(100\):

\[x^2 = \frac{16}{100} = 0.16\]

• Извлекаем квадратный корень:

\[x = \pm \sqrt{0.16} = \pm 0.4\]

г) \(x^2 - 16x + 63 = 0\)

Логика такая:

• Вычисляем дискриминант:

\[D = b^2 - 4ac = (-16)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 63 = 256 - 252 = 4\]

• Находим корни уравнения:

\[x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{16 + \sqrt{4}}{2 \cdot 1} = \frac{16 + 2}{2} = \frac{18}{2} = 9\] \[x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{16 - \sqrt{4}}{2 \cdot 1} = \frac{16 - 2}{2} = \frac{14}{2} = 7\]

2. Докажите тождество: \(6x^2 - 7x + 2 = (3x - 2)(2x - 1)\)

Разбираемся:

• Раскрываем скобки в правой части:

\[(3x - 2)(2x - 1) = 3x \cdot 2x - 3x \cdot 1 - 2 \cdot 2x + 2 \cdot 1 = 6x^2 - 3x - 4x + 2 = 6x^2 - 7x + 2\]

• Получили выражение, идентичное левой части. Тождество доказано.

3. Сократите дробь: \(\frac{4x^2 + 10x - 6}{x + 3}\)

Смотри, тут всё просто:

• Разложим числитель на множители. Сначала решим уравнение \(4x^2 + 10x - 6 = 0\):

Вычисляем дискриминант: \[D = b^2 - 4ac = 10^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-6) = 100 + 96 = 196\] Находим корни уравнения: \[x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-10 + \sqrt{196}}{2 \cdot 4} = \frac{-10 + 14}{8} = \frac{4}{8} = 0.5\] \[x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-10 - \sqrt{196}}{2 \cdot 4} = \frac{-10 - 14}{8} = \frac{-24}{8} = -3\] Следовательно, \(4x^2 + 10x - 6 = 4(x - 0.5)(x + 3)\).

• Подставляем разложение в дробь:

\[\frac{4x^2 + 10x - 6}{x + 3} = \frac{4(x - 0.5)(x + 3)}{x + 3}\]

• Сокращаем \((x + 3)\):

\[\frac{4(x - 0.5)(x + 3)}{x + 3} = 4(x - 0.5) = 4x - 2\]

4. Периметр прямоугольника равен 20 см. Найдите его стороны, если известно, что площадь прямоугольника равна 24 см².

Разбираемся:

• Пусть \(a\) и \(b\) - стороны прямоугольника.
• Периметр прямоугольника: \(2(a + b) = 20\), следовательно, \(a + b = 10\).
• Площадь прямоугольника: \(a \cdot b = 24\).
• Выражаем \(b\) через \(a\) из первого уравнения: \(b = 10 - a\).
• Подставляем во второе уравнение: \(a(10 - a) = 24\).
• Раскрываем скобки и приводим к квадратному уравнению: \(10a - a^2 = 24 \Rightarrow a^2 - 10a + 24 = 0\).

Логика такая:

• Решаем квадратное уравнение:

Вычисляем дискриминант: \[D = b^2 - 4ac = (-10)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 24 = 100 - 96 = 4\] Находим корни уравнения: \[a_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{10 + \sqrt{4}}{2 \cdot 1} = \frac{10 + 2}{2} = \frac{12}{2} = 6\] \[a_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{10 - \sqrt{4}}{2 \cdot 1} = \frac{10 - 2}{2} = \frac{8}{2} = 4\]

• Если \(a = 6\), то \(b = 10 - 6 = 4\).
• Если \(a = 4\), то \(b = 10 - 4 = 6\).

Ответ:

• Стороны прямоугольника: 6 см и 4 см.

5. В уравнении \(x^2 + px - 18 = 0\) один из его корней равен -9. Найдите другой корень и коэффициент \(p\).

Логика такая:

• Пусть \(x_1 = -9\) - один из корней уравнения.
• Подставляем \(x_1\) в уравнение: \((-9)^2 + p(-9) - 18 = 0\).
• Упрощаем: \(81 - 9p - 18 = 0 \Rightarrow 63 - 9p = 0\).
• Находим \(p\): \(9p = 63 \Rightarrow p = 7\).

Разбираемся:

• Теперь уравнение имеет вид: \(x^2 + 7x - 18 = 0\).
• Воспользуемся теоремой Виета:

\[ x_1 + x_2 = -p\] \[ x_1 \cdot x_2 = -18\]

• Подставляем известные значения:

\[ -9 + x_2 = -7\] \[ -9 \cdot x_2 = -18\]

• Находим \(x_2\):

\[ x_2 = -7 + 9 = 2\] \[ x_2 = \frac{-18}{-9} = 2\]

• Ответ:

Другой корень равен 2, коэффициент \(p = 7\).

Проверка за 10 секунд: Убедитесь, что найденные корни и коэффициенты удовлетворяют исходным уравнениям и условиям задачи.

База: Всегда проверяйте свои решения, подставляя найденные значения обратно в исходные уравнения. Это поможет избежать ошибок и убедиться в правильности ответа.