Вариант / • 1. Решите неравенство: a) x<6; и) 1-3x<0; 0) 5(y-1,2)-4,0>3y+1. 2. При каких а значение дроби та ствующего значения дроби • 3. Решите систему неравенств: a) 2x-3>0, 10-1 6) 3-2x<1, 1,0 x 2,0. a меньше GOOTRET 4. Найдите целые решения системы неравенств 6-2x<3(x-1), 6->x. M 5. При каких значениях х имеет смысл выражение V3x-2+V6-x? 6. При каких значениях а множеством решений не- равенства 3x-7< a является числовой промежуток (-∞; 4)? 7. В треугольнике ABC угол C равен 90°, СН - высота, АВ = 100, Найдите длину отрезка АН. 8. Путь длиной 34 км первый велосипедист проезжает на 50 минут дольше второго. Найдите скорость второго велосипедиста, если известно, что она н 5 км/ч больше скорости первого. Ответ дайте в км/ч. Запишите решение и ответ.

Вариант 1

1. Решите неравенство:

a) \(x<6\)

б) \(1-3x<0\)

Переносим 1 в правую часть, изменив знак:

\(-3x < -1\)

Делим обе части на -3 (знак неравенства меняется):

\(x > \frac{1}{3}\)

в) \(5(y-1.2) - 4.0 > 3y + 1\)

Раскрываем скобки:

\(5y - 6 - 4 > 3y + 1\)

\(5y - 10 > 3y + 1\)

Переносим члены с \(y\) в левую часть, а константы в правую:

\(5y - 3y > 1 + 10\)

\(2y > 11\)

Делим обе части на 2:

\(y > \frac{11}{2}\)

\(y > 5.5\)

2. При каких \(a\) значение дроби \(\frac{7+a}{3}\) меньше соответствующего значения дроби \(\frac{12-a}{2}\)?

Запишем неравенство:

\[\frac{7+a}{3} < \frac{12-a}{2}\]

Умножим обе части на 6 (общий знаменатель 3 и 2):

\[2(7+a) < 3(12-a)\]

Раскрываем скобки:

\[14 + 2a < 36 - 3a\]

Переносим члены с \(a\) в левую часть, а константы в правую:

\[2a + 3a < 36 - 14\]

\[5a < 22\]

Делим обе части на 5:

\[a < \frac{22}{5}\]

\[a < 4.4\]

3. Решите систему неравенств:

a)

\[\begin{cases} 2x - 3 > 0 \\ 7x + 4 > 0 \end{cases}\]

Решаем первое неравенство:

\[2x > 3\]

\[x > \frac{3}{2}\]

\[x > 1.5\]

Решаем второе неравенство:

\[7x > -4\]

\[x > -\frac{4}{7}\]

Оба неравенства должны выполняться, поэтому выбираем большее значение: \(x > 1.5\)

б)

\[\begin{cases} 3 - 2x < 1 \\ 1.6 + x < 2.0 \end{cases}\]

Решаем первое неравенство:

\[-2x < -2\]

\[x > 1\]

Решаем второе неравенство:

\[x < 2.0 - 1.6\]

\[x < 0.4\]

Получаем противоречие: \(x > 1\) и \(x < 0.4\). Решений нет.

4. Найдите целые решения системы неравенств:

\[\begin{cases} 6 - 2x < 3(x - 1) \\ 6 - \frac{x}{2} > x \end{cases}\]

Решаем первое неравенство:

\[6 - 2x < 3x - 3\]

\[9 < 5x\]

\[x > \frac{9}{5}\]

\[x > 1.8\]

Решаем второе неравенство:

\[6 > x + \frac{x}{2}\]

\[6 > \frac{3x}{2}\]

\[12 > 3x\]

\[x < 4\]

Целые решения: 2, 3

5. При каких значениях \(x\) имеет смысл выражение \(\sqrt{3x-2} + \sqrt{6-x}\)?

Выражение имеет смысл, когда оба подкоренных выражения неотрицательны:

\[\begin{cases} 3x - 2 \ge 0 \\ 6 - x \ge 0 \end{cases}\]

Решаем первое неравенство:

\[3x \ge 2\]

\[x \ge \frac{2}{3}\]

Решаем второе неравенство:

\[x \le 6\]

Таким образом, \(\frac{2}{3} \le x \le 6\)

6. При каких значениях \(a\) множеством решений неравенства \(3x - 7 < \frac{a}{3}\) является числовой промежуток \((-\infty; 4)\)?

\[3x - 7 < \frac{a}{3}\]

\[3x < \frac{a}{3} + 7\]

\[x < \frac{a}{9} + \frac{7}{3}\]

Так как множество решений \((-\infty; 4)\), то:

\[\frac{a}{9} + \frac{7}{3} = 4\]

\[\frac{a}{9} = 4 - \frac{7}{3}\]

\[\frac{a}{9} = \frac{12 - 7}{3}\]

\[\frac{a}{9} = \frac{5}{3}\]

\[a = \frac{5}{3} \cdot 9\]

\[a = 15\]

7. В треугольнике ABC угол C равен 90°, CH - высота, AB = 100, Найдите длину отрезка AH.

К сожалению, для решения этой задачи недостаточно данных. Нужен угол или другая сторона треугольника.

8. Путь длиной 34 км первый велосипедист проезжает на 50 минут дольше второго. Найдите скорость второго велосипедиста, если известно, что она н 5 км/ч больше скорости первого. Ответ дайте в км/ч. Запишите решение и ответ.

Пусть \(v_1\) - скорость первого велосипедиста, \(v_2\) - скорость второго велосипедиста.

\[v_2 = v_1 + 5\]

Время первого велосипедиста: \(t_1 = \frac{34}{v_1}\)

Время второго велосипедиста: \(t_2 = \frac{34}{v_2} = \frac{34}{v_1 + 5}\)

Разница во времени: \(t_1 - t_2 = \frac{50}{60} = \frac{5}{6}\)

\[\frac{34}{v_1} - \frac{34}{v_1 + 5} = \frac{5}{6}\]

\[\frac{34(v_1 + 5) - 34v_1}{v_1(v_1 + 5)} = \frac{5}{6}\]

\[\frac{34 \cdot 5}{v_1^2 + 5v_1} = \frac{5}{6}\]

\[\frac{34}{v_1^2 + 5v_1} = \frac{1}{6}\]

\[v_1^2 + 5v_1 = 34 \cdot 6\]

\[v_1^2 + 5v_1 - 204 = 0\]

Решаем квадратное уравнение:

\[D = 5^2 - 4 \cdot (-204) = 25 + 816 = 841\]

\[v_1 = \frac{-5 \pm \sqrt{841}}{2} = \frac{-5 \pm 29}{2}\]

Так как скорость не может быть отрицательной, выбираем положительный корень:

\[v_1 = \frac{-5 + 29}{2} = \frac{24}{2} = 12\]

\[v_2 = v_1 + 5 = 12 + 5 = 17\] км/ч

Ответ: 17 км/ч