Вариант 19 1. © school-pro.ru - подготовка к ЕГЭ и ОГЭ по математике 2. Расстояние Биссектриса от точки угла О пересечения параллелограммадиагоналей OTND ромба до пересекает одной из его сторону TN в сторон равно точке Н. 39, а одна из Найдите диагоналей периметр ромба равна параллелограмма 156. Найдите если ТН = 8, углы ромба. NH = 5. 3. Высота CK ромба CPDM делит сторону DM на отрезки МК = 80 и DK = 2. Найдите высоту ромба.

Решение задания №2

Для начала вспомним свойства ромба: его диагонали пересекаются под прямым углом и в точке пересечения делятся пополам.

Пусть диагонали ромба равны d1 и d2. По условию, одна из диагоналей равна 156, то есть d1 = 156. Также известно, что расстояние от точки пересечения диагоналей до одной из его сторон равно 39.

Площадь ромба можно найти двумя способами:

1. Через диагонали: \[S = \frac{1}{2} d_1 d_2\]
2. Через сторону и высоту: \[S = a \cdot h\]где a - сторона ромба, h - высота, равная расстоянию от точки пересечения диагоналей до стороны, умноженному на 2, то есть h = 2 \cdot 39 = 78.

Выразим сторону ромба a через его диагонали. Так как диагонали ромба перпендикулярны и делятся пополам точкой пересечения, сторона ромба является гипотенузой прямоугольного треугольника с катетами d1/2 и d2/2. По теореме Пифагора:

\[a^2 = (\frac{d_1}{2})^2 + (\frac{d_2}{2})^2\]\[a = \sqrt{(\frac{d_1}{2})^2 + (\frac{d_2}{2})^2} = \sqrt{(\frac{156}{2})^2 + (\frac{d_2}{2})^2} = \sqrt{78^2 + (\frac{d_2}{2})^2}\]

Теперь приравняем площади, выраженные разными способами:

\[\frac{1}{2} d_1 d_2 = a \cdot h\]\[\frac{1}{2} \cdot 156 \cdot d_2 = \sqrt{78^2 + (\frac{d_2}{2})^2} \cdot 78\]\[78 d_2 = 78 \sqrt{78^2 + (\frac{d_2}{2})^2}\]\[d_2 = \sqrt{78^2 + (\frac{d_2}{2})^2}\]\[d_2^2 = 78^2 + (\frac{d_2}{2})^2\]\[d_2^2 = 6084 + \frac{d_2^2}{4}\]\[\frac{3}{4} d_2^2 = 6084\]\[d_2^2 = \frac{4}{3} \cdot 6084 = 4 \cdot 2028 = 8112\]\[d_2 = \sqrt{8112} = 4 \sqrt{507} = 4 \sqrt{3 \cdot 13^2} = 52 \sqrt{3}\]

Теперь найдем сторону ромба:

\[a = \sqrt{78^2 + (\frac{52 \sqrt{3}}{2})^2} = \sqrt{78^2 + (26 \sqrt{3})^2} = \sqrt{6084 + 26^2 \cdot 3} = \sqrt{6084 + 676 \cdot 3} = \sqrt{6084 + 2028} = \sqrt{8112} = 52\sqrt{3}\]

Сторона ромба равна a = \sqrt{78^2 + (\frac{d_2}{2})^2} = \sqrt{6084 + \frac{8112}{4}} = \sqrt{6084 + 2028} = \sqrt{8112} = 52 \sqrt{3}.

Периметр ромба равен P = 4a = 4 \cdot 52 \sqrt{3} = 208 \sqrt{3}. Но по условию периметр равен 156. Что-то тут не так.

Предположим, что расстояние 39 - это радиус вписанной окружности, а сторона равна a. Тогда площадь ромба равна S=a*2*39. С другой стороны S = (d1*d2)/2.

Отсюда a*78 = 156*d2/2 => a*78 = 78*d2 => a = d2.

a^2 = (d1/2)^2 + (d2/2)^2 => a^2 = (156/2)^2 + (a/2)^2 => a^2 = 78^2 + a^2/4

3/4 a^2 = 78^2 => a^2 = 4/3 * 78^2

a = 78 * 2 / \sqrt{3} = 156 / \sqrt{3} = 52*\sqrt{3}.

Периметр ромба равен 4*a = 4 * 52 * \sqrt{3} = 208 * \sqrt{3}

Из полученных данных можно сделать вывод, что условие задачи противоречиво, так как при заданных условиях (расстояние от точки пересечения диагоналей до стороны равно 39, одна из диагоналей равна 156) периметр ромба не может быть равен 156.