ВАРИАНТ 5 x+2 1. = 7; 2. 3. 4. x-2x-2 + x+3 x-1 (x+3)(x-1) ig

Привет! Сейчас я помогу тебе решить эти математические примеры. Не волнуйся, всё получится!

Задание 1:

Решим уравнение: \[\frac{x+2}{x-4} = 7\]

1. Умножим обе части уравнения на \(x-4\) (предполагая, что \(x
   eq 4\)):
   \[x + 2 = 7(x - 4)\]
2. Раскроем скобки:
   \[x + 2 = 7x - 28\]
3. Перенесем переменные в одну сторону, а числа в другую:
   \[7x - x = 2 + 28\]
4. Упростим:
   \[6x = 30\]
5. Разделим обе части на 6:
   \[x = \frac{30}{6} = 5\]

Ответ: x = 5

В первом задании мы нашли значение x, которое удовлетворяет уравнению. Молодец! Теперь перейдём ко второму заданию.

Задание 2:

Упростим выражение: \[\frac{x+2}{x-1} - \frac{5}{x+1} = \frac{6}{x^2-1}\]

1. Заметим, что \(x^2 - 1 = (x-1)(x+1)\), поэтому приведем дроби к общему знаменателю:
   \[\frac{(x+2)(x+1) - 5(x-1)}{(x-1)(x+1)} = \frac{6}{(x-1)(x+1)}\]
2. Умножим обе части уравнения на \((x-1)(x+1)\) (предполагая, что \(x
   eq 1\) и \(x
   eq -1\)):
   \[(x+2)(x+1) - 5(x-1) = 6\]
3. Раскроем скобки:
   \[x^2 + x + 2x + 2 - 5x + 5 = 6\]
4. Упростим:
   \[x^2 - 2x + 7 = 6\]
5. Перенесем все в одну сторону:
   \[x^2 - 2x + 1 = 0\]
6. Заметим, что это полный квадрат:
   \[(x-1)^2 = 0\]
7. Тогда:
   \[x = 1\]

Однако, в самом начале мы сделали предположение, что \(x
eq 1\), поэтому в данном случае уравнение не имеет решений, так как это значение исключено из области определения.

Ответ: Решений нет

Во втором задании мы выяснили, что уравнение не имеет решений из-за ограничения в знаменателе. Ты хорошо справился, перейдём к третьему!

Задание 3:

Упростим выражение: \[\frac{x+3}{2+x} = \frac{20}{x^2-4}\]

1. Заметим, что \(x^2 - 4 = (x-2)(x+2)\), поэтому перепишем уравнение:
   \[\frac{x+3}{x+2} = \frac{20}{(x-2)(x+2)}\]
2. Умножим обе части уравнения на \((x+2)(x-2)\) (предполагая, что \(x
   eq -2\) и \(x
   eq 2\)):
   \[(x+3)(x-2) = 20\]
3. Раскроем скобки:
   \[x^2 - 2x + 3x - 6 = 20\]
4. Упростим:
   \[x^2 + x - 6 = 20\]
5. Перенесем все в одну сторону:
   \[x^2 + x - 26 = 0\]
6. Решим квадратное уравнение через дискриминант:
   \[D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4(1)(-26) = 1 + 104 = 105\]
7. Найдем корни:
   \[x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 + \sqrt{105}}{2}\]
   \[x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 - \sqrt{105}}{2}\]

Ответ: \[x_1 = \frac{-1 + \sqrt{105}}{2}\], \[x_2 = \frac{-1 - \sqrt{105}}{2}\]

В третьем задании мы нашли два корня уравнения, используя дискриминант. Почти закончили, давай к последнему примеру!

Задание 4:

Упростим выражение: \[\frac{x-2}{x+3} + \frac{x-2}{x-1} = \frac{20}{(x+3)(x-1)}\]

1. Приведем дроби к общему знаменателю:
   \[\frac{(x-2)(x-1) + (x-2)(x+3)}{(x+3)(x-1)} = \frac{20}{(x+3)(x-1)}\]
2. Умножим обе части уравнения на \((x+3)(x-1)\) (предполагая, что \(x
   eq -3\) и \(x
   eq 1\)):
   \[(x-2)(x-1) + (x-2)(x+3) = 20\]
3. Раскроем скобки:
   \[x^2 - x - 2x + 2 + x^2 + 3x - 2x - 6 = 20\]
4. Упростим:
   \[2x^2 - 2x - 4 = 20\]
5. Перенесем все в одну сторону:
   \[2x^2 - 2x - 24 = 0\]
6. Разделим обе части на 2:
   \[x^2 - x - 12 = 0\]
7. Решим квадратное уравнение через дискриминант:
   \[D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4(1)(-12) = 1 + 48 = 49\]
8. Найдем корни:
   \[x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 + \sqrt{49}}{2} = \frac{1 + 7}{2} = 4\]
   \[x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 - \sqrt{49}}{2} = \frac{1 - 7}{2} = -3\]

Однако, в самом начале мы сделали предположение, что \(x
eq -3\), поэтому \(x=-3\) не является решением.

Ответ: x = 4

Ответ: 1) x=5; 2) нет решений; 3) x = \(\frac{-1 + \sqrt{105}}{2}\) или x = \(\frac{-1 - \sqrt{105}}{2}\); 4) x = 4

Вот и всё! Ты отлично поработал, и мы решили все задания. У тебя прекрасные способности, и я уверена, что ты сможешь справиться с любой задачей, если будешь продолжать практиковаться и верить в себя!