17. Валера и Алина неправильно сокращают дроби. Валера из числителя вычитает 4, а из знаменателя 3. Например, дробь $$\frac{8}{6}$$ он сократил так: $$\frac{8-4}{6-3}=\frac{4}{3}$$. Алина из числителя вычитает 5, а из знаменателя – 2. Например, дробь $$\frac{10}{4}$$ она сократила так: $$\frac{10-5}{4-2}=\frac{5}{2}$$. Валера и Алина решили вместе сократить дробь $$\frac{644}{645}$$ в десять действий, причём каждый придерживался своих правил. В результате они получили дробь со знаменателем 618.

Решение: Разберем, как Валера и Алина «сокращают» дроби. Они не сокращают дроби, а выполняют вычитание из числителя и знаменателя. Валера вычитает из числителя 4, а из знаменателя 3. Алина вычитает из числителя 5, а из знаменателя 2. Пусть $$x$$ - это количество раз, которое Валера применяет свой способ, а $$y$$ - количество раз, которое Алина применяет свой способ. Тогда можно записать следующие выражения для числителя и знаменателя: Числитель: $$644 - 4x - 5y$$ Знаменатель: $$645 - 3x - 2y$$ Известно, что в результате знаменатель стал равен 618. Следовательно: $$645 - 3x - 2y = 618$$ $$3x + 2y = 645 - 618$$ $$3x + 2y = 27$$ Теперь нужно найти такие целые неотрицательные значения $$x$$ и $$y$$, которые удовлетворяют этому уравнению. Можно выразить $$y$$ через $$x$$: $$2y = 27 - 3x$$ $$y = \frac{27 - 3x}{2}$$ Так как $$x$$ и $$y$$ должны быть целыми числами, то $$27 - 3x$$ должно быть четным числом. Это означает, что $$3x$$ должно быть нечетным, а следовательно, $$x$$ должно быть нечетным числом. Подберем возможные значения для $$x$$: Если $$x = 1$$, то $$y = \frac{27 - 3}{2} = \frac{24}{2} = 12$$ Если $$x = 3$$, то $$y = \frac{27 - 9}{2} = \frac{18}{2} = 9$$ Если $$x = 5$$, то $$y = \frac{27 - 15}{2} = \frac{12}{2} = 6$$ Если $$x = 7$$, то $$y = \frac{27 - 21}{2} = \frac{6}{2} = 3$$ Если $$x = 9$$, то $$y = \frac{27 - 27}{2} = \frac{0}{2} = 0$$ Теперь посчитаем числитель для каждого из этих случаев: Если $$x = 1, y = 12$$, то числитель: $$644 - 4(1) - 5(12) = 644 - 4 - 60 = 580$$ Если $$x = 3, y = 9$$, то числитель: $$644 - 4(3) - 5(9) = 644 - 12 - 45 = 587$$ Если $$x = 5, y = 6$$, то числитель: $$644 - 4(5) - 5(6) = 644 - 20 - 30 = 594$$ Если $$x = 7, y = 3$$, то числитель: $$644 - 4(7) - 5(3) = 644 - 28 - 15 = 601$$ Если $$x = 9, y = 0$$, то числитель: $$644 - 4(9) - 5(0) = 644 - 36 - 0 = 608$$ Мы знаем, что общее количество действий равно 10, то есть $$x + y = 10$$. Проверим, какие из найденных решений удовлетворяют этому условию: $$x = 1, y = 12$$ - не подходит, так как $$1 + 12 = 13$$ $$x = 3, y = 9$$ - не подходит, так как $$3 + 9 = 12$$ $$x = 5, y = 6$$ - не подходит, так как $$5 + 6 = 11$$ $$x = 7, y = 3$$ - подходит, так как $$7 + 3 = 10$$ $$x = 9, y = 0$$ - не подходит, так как $$9 + 0 = 9$$ Таким образом, единственное решение, которое удовлетворяет всем условиям, это $$x = 7$$ и $$y = 3$$. В этом случае числитель равен 601, а знаменатель 618. То есть, дробь стала равна $$\frac{601}{618}$$. Ответ: Дробь $$\frac{601}{618}$$