Вале нужно отгадать три числа, которые загадал Дима. Дима дал Вале подсказку, что его числа имеют вид авс, cba и XXX (разными буквами обозначены разные цифры), а также для них выполняется равенство abc + cba = Xxx. Валя делает предположение, называя тройку чисел, удовлетворяющую подсказке. За какое минимальное количество предположений Валя гарантированно угадает загаданную Димой тройку?

Решение:

Давай рассуждать логически. У нас есть условие: \(\overline{abc} + \overline{cba} = \overline{xxx}\). Это значит, что при сложении чисел \(\overline{abc}\) и \(\overline{cba}\) получается число, у которого все цифры одинаковые.

Представим это в виде уравнения:

\[100a + 10b + c + 100c + 10b + a = 111x\]\[101a + 20b + 101c = 111x\]\[101(a+c) + 20b = 111x\]

Заметим, что \(111x\) делится на \(111\), а значит, делится на 3 и на 37. Значит и левая часть уравнения должна делиться на эти числа.

Теперь давайте подумаем, какие значения могут принимать \(a\), \(b\), \(c\) и \(x\). Так как \(a\), \(b\), \(c\) - это разные цифры, то они могут быть от 0 до 9. При этом \(a\) и \(c\) не могут быть равны 0, так как это первая цифра в трехзначном числе. Также \(x\) - это цифра, которая повторяется в числе \(\overline{xxx}\), поэтому \(x\) тоже от 1 до 9.

Рассмотрим возможные значения для \(x\). Число \(111x\) должно быть суммой двух трехзначных чисел, поэтому максимальное значение для \(x\) будет таким, чтобы \(111x\) не превышало 999 + 999 = 1998. Значит, \(x\) может быть любым числом от 1 до 9.

Заметим, что при сложении \(\overline{abc} + \overline{cba}\) получается \(\overline{xxx}\), где \(x\) - это цифра, которая повторяется. Это возможно только если \(a + c = x\) и при этом нет переноса десятка из разряда единиц в разряд десятков, и нет переноса из разряда десятков в разряд сотен (иначе цифры в числе \(\overline{xxx}\) не будут одинаковыми).

То есть \(a + c = x\), и \(b\) должно быть таким, чтобы \(2b = x\) или \(2b = 10 + x\). Таким образом, \(x\) должно быть четным, либо \(x+10\) должно быть четным, то есть \(x\) должно быть четным. Значит \(x\) может быть 2, 4, 6, 8.

Если \(x=2\), то \(a+c = 2\) и \(2b = 2\), откуда \(b=1\). Возможные варианты: \(a=1, c=1\) (но они должны быть разными), \(a=2, c=0\) или \(a=0, c=2\) (но a не может быть 0). Вариантов нет. Если \(x=4\), то \(a+c = 4\) и \(2b = 4\), откуда \(b=2\). Варианты: \(a=1, c=3\) или \(a=3, c=1\), или \(a=4, c=0\). 3 варианта. Если \(x=6\), то \(a+c = 6\) и \(2b = 6\), откуда \(b=3\). Варианты: \(a=1, c=5\), \(a=5, c=1\), \(a=2, c=4\), \(a=4, c=2\), \(a=6, c=0\). 5 вариантов. Если \(x=8\), то \(a+c = 8\) и \(2b = 8\), откуда \(b=4\). Варианты: \(a=1, c=7\), \(a=7, c=1\), \(a=2, c=6\), \(a=6, c=2\), \(a=3, c=5\), \(a=5, c=3\), \(a=8, c=0\). 7 вариантов.

Теперь рассмотрим варианты, когда \(2b = 10 + x\). Если \(x=2\), то \(a+c = 2\) и \(2b = 12\), откуда \(b=6\). Нет вариантов для a и c. Если \(x=4\), то \(a+c = 4\) и \(2b = 14\), откуда \(b=7\). Нет вариантов для a и c. Если \(x=6\), то \(a+c = 6\) и \(2b = 16\), откуда \(b=8\). Нет вариантов для a и c. Если \(x=8\), то \(a+c = 8\) и \(2b = 18\), откуда \(b=9\). Нет вариантов для a и c.

Итого у нас есть 3 + 5 + 7 = 15 вариантов.

Минимальное количество предположений, чтобы гарантированно угадать загаданную тройку - 15.

Ответ: 15