Вадим и Дмитрий играют матч в настольный теннис до трех победных партий. Сколько элементарных событий в этом опыте?

Решение:

В данном опыте нас интересуют только исходы партий, и матч заканчивается, когда один из игроков выигрывает 3 партии. Возможные исходы:

• 2:0 (Вадим выигрывает 2:0)
• 2:1 (Вадим выигрывает 2:1)
• 1:2 (Дмитрий выигрывает 2:1)
• 0:2 (Дмитрий выигрывает 2:0)

Для каждого из этих исходов необходимо рассмотреть, как развивалась игра. Например, если Вадим выиграл 2:0, это могло произойти в двух партиях (ВВ) или в трех партиях (ВВВ, но это исключается, так как матч закончился бы после второй партии). Однако, условие "до трех победных партий" означает, что матч может длиться максимум 5 партий (если счет будет 3:2).

Рассмотрим все возможные последовательности побед, пока один из игроков не наберет 3 победы.

Сценарии победы Вадима:

• 3:0 (ВВВ) - 1 вариант
• 3:1 (ВВВВ, ВВВВ) - Вадим выиграл 3 партии, Дмитрий 1. Возможные последовательности: ВВВД, ВВДВ, ВДВВ, ДВВВ. Из них только те, где Вадим выиграл последнюю партию: ВВВД, ВВДВ, ВДВВ. (3 варианта)
• 3:2 (ВВВВВ, ВВВВВ, ВВВВВ) - Вадим выиграл 3 партии, Дмитрий 2. Возможные последовательности: ВВВДД, ВВДВД, ВВДДВ, ВДВВД, ВДВДВ, ВДДВВ, ДВВВД, ДВВДВ, ДВДВВ, ДДВВВ. Из них только те, где Вадим выиграл последнюю партию: ВВВДД, ВВДВД, ВДВВД, ДВВВД. (4 варианта)

Сценарии победы Дмитрия: (симметрично)

• 0:3 (ДДД) - 1 вариант
• 1:3 (ДДДВ, ДДВД, ДВДД, ВДДД) - Вадим выиграл 1 партию, Дмитрий 3. Дмитрию выиграть последнюю партию: ДДДВ, ДДВД, ДВДД. (3 варианта)
• 2:3 (ДДДДД, ДДДДД, ДДДДД) - Вадим выиграл 2 партии, Дмитрий 3. Дмитрию выиграть последнюю партию: ДДДВВ, ДДВДВ, ДВДДВ, ВДДДВ. (4 варианта)

Всего элементарных событий (последовательностей партий) будет:

• Вадим победил 3:0 (3 партии) = 1
• Вадим победил 3:1 (4 партии) = 3
• Вадим победил 3:2 (5 партий) = 4
• Дмитрий победил 3:0 (3 партии) = 1
• Дмитрий победил 1:3 (4 партии) = 3
• Дмитрий победил 2:3 (5 партий) = 4

Общее количество исходов = 1 + 3 + 4 + 1 + 3 + 4 = 16.

Можно также использовать формулу для числа сочетаний: если игра длится k партий, то общее число исходов равно C(k-1, n-1), где n - число побед, которое нужно для выигрыша матча (в данном случае 3). Количество партий (k) может быть 3, 4 или 5.

• k=3 (счет 3:0): C(3-1, 3-1) = C(2,2) = 1.
• k=4 (счет 3:1): C(4-1, 3-1) = C(3,2) = 3.
• k=5 (счет 3:2): C(5-1, 3-1) = C(4,2) = 6.

Однако, эта формула считает только исходы, когда кто-то выиграл. Нужно учесть, кто именно выиграл. Если игрок А выигрывает N партий, а игрок Б выигрывает K партий, где N=3, а K < 3, то общее число партий = N+K. Число исходов, когда А выиграл N партий, а Б выиграл K партий, и последняя партия была выиграна А, равно C(N+K-1, N-1).

• Вадим выиграл 3:0 (3 партии): C(3-1, 3-1) = C(2,2) = 1 (ВВВ).
• Вадим выиграл 3:1 (4 партии): C(4-1, 3-1) = C(3,2) = 3 (ВВВД, ВВДВ, ВДВВ).
• Вадим выиграл 3:2 (5 партий): C(5-1, 3-1) = C(4,2) = 6. Здесь нужно выбрать, в каких 2 из 4 первых партий проиграл Вадим: ВВВДД, ВВДВД, ВВДДВ, ВДВВД, ВДВДВ, ВДДВВ.
• Дмитрий выиграл 3:0 (3 партии): C(3-1, 3-1) = C(2,2) = 1 (ДДД).
• Дмитрий выиграл 1:3 (4 партии): C(4-1, 3-1) = C(3,2) = 3 (ДДДВ, ДДВД, ДВДД).
• Дмитрий выиграл 2:3 (5 партий): C(5-1, 3-1) = C(4,2) = 6. Здесь нужно выбрать, в каких 2 из 4 первых партий проиграл Дмитрий: ДДДВВ, ДДВДВ, ДДВВД, ДВДДВ, ДВДВД, ДВВДД.

Общее число исходов = 1 + 3 + 6 + 1 + 3 + 6 = 20.

Следовательно, элементарных событий в этом опыте 20.