В4.160 Прямоугольный параллелепипед (рис. 4.31) состоит из двух частей. а) Вычислите объём параллелепипеда и его частей. Равен ли объём параллелепипеда сумме объёмов его частей? б) Вычислите площадь поверхности параллелепипеда и его частей. Равны ли площади поверхности параллелепипеда и сумма площадей поверхностей его частей? Объясните почему.

Решение:

Для решения задачи необходимо видеть рис. 4.31, который показывает, как параллелепипед разделен на две части. Поскольку изображение отсутствует, я приведу пример решения для гипотетического разделения параллелепипеда.

Предположим, что дан параллелепипед с измерениями: длина = 6 см, ширина = 4 см, высота = 5 см. Он разделен пополам так, что получаются две одинаковые части.

4.160 а) Объём параллелепипеда и его частей.

1. Объём всего параллелепипеда:
   \( V = a \cdot b \cdot c = 6 \text{ см} \cdot 4 \text{ см} \cdot 5 \text{ см} = 120 \text{ см}^3 \).
2. Объём каждой части:
   Так как параллелепипед разделён на две равные части, объём каждой части будет равен половине общего объёма.
   \( V_{части} = \frac{V}{2} = \frac{120 \text{ см}^3}{2} = 60 \text{ см}^3 \).
3. Равен ли объём параллелепипеда сумме объёмов его частей?
   Сумма объёмов частей: \( 60 \text{ см}^3 + 60 \text{ см}^3 = 120 \text{ см}^3 \>.
   Общий объём параллелепипеда равен сумме объёмов его частей.

Ответ: Объём параллелепипеда 120 см³. Объём каждой части 60 см³. Да, объём параллелепипеда равен сумме объёмов его частей.

4.160 б) Площадь поверхности параллелепипеда и его частей.

1. Площадь поверхности всего параллелепипеда:
   \( S = 2(ab + ac + bc) \)
   \( S = 2(6 \cdot 4 + 6 \cdot 5 + 4 \cdot 5) \text{ см}^2 \)
   \( S = 2(24 + 30 + 20) \text{ см}^2 \)
   \( S = 2(74) \text{ см}^2 = 148 \text{ см}^2 \).
2. Площадь поверхности каждой части:
   Каждая часть является параллелепипедом с одним из измерений, уменьшенным вдвое (например, если разделение шло по длине, то новая длина будет 3 см).
   Для одной части: \( a' = 3 \text{ см}, b = 4 \text{ см}, c = 5 \text{ см} \>.
   \( S'_{части1} = 2(3 \cdot 4 + 3 \cdot 5 + 4 \cdot 5) \text{ см}^2 \)
   \( S'_{части1} = 2(12 + 15 + 20) \text{ см}^2 \)
   \( S'_{части1} = 2(47) \text{ см}^2 = 94 \text{ см}^2 \>.
3. Сумма площадей поверхностей двух частей:
   \( S_{суммарная} = S'_{части1} + S'_{части2} \) (если части равны, то \( S'_{части2} = S'_{части1} \)).
   \( S_{суммарная} = 94 \text{ см}^2 + 94 \text{ см}^2 = 188 \text{ см}^2 \).
4. Равны ли площади поверхности параллелепипеда и сумма площадей его частей?
   \( 148 \(\text{ см}\)^2 \(\neq\) 188 \(\text{ см}\)^2 \>.
   Площадь поверхности параллелепипеда меньше суммы площадей поверхностей его частей.

Объяснение:

Когда параллелепипед разделяется на две части, образуются новые поверхности — срезы. Эти новые поверхности не были частью внешней поверхности исходного параллелепипеда. Поэтому сумма площадей поверхностей двух частей будет больше площади поверхности исходного параллелепипеда.

Ответ: Площадь поверхности параллелепипеда 148 см². Сумма площадей поверхностей двух частей 188 см². Нет, площади не равны. Площадь поверхности параллелепипеда меньше суммы площадей его частей, так как при разделении образуются новые поверхности (срезы).