В задуманном двузначном числе цифра, стоящая в разряде десятков, в 2 раза меньше цифры, стоящей в разряде единиц. Если эти две цифры поменять местами, то число увеличится на 27. Найдите задуманное число.

Решение:

1. Пусть задуманное число имеет вид \( \overline{ab} \), где \( a \) — цифра десятков, а \( b \) — цифра единиц.
2. По условию, цифра в разряде десятков в 2 раза меньше цифры в разряде единиц: \( a = \frac{b}{2} \) или \( b = 2a \).
3. Если цифры поменять местами, получится число \( \overline{ba} \).
4. По условию, новое число больше исходного на 27: \( \overline{ba} - \overline{ab} = 27 \).
5. Запишем числа в виде алгебраических выражений: \( 10b + a - (10a + b) = 27 \).
6. Упростим уравнение: \( 10b + a - 10a - b = 27 \) \( 9b - 9a = 27 \) \( 9(b - a) = 27 \) \( b - a = 3 \).
7. Теперь у нас есть система из двух уравнений:
   \( b = 2a \)
   \( b - a = 3 \)
8. Подставим первое уравнение во второе: \( 2a - a = 3 \) \( a = 3 \).
9. Найдем \( b \): \( b = 2a = 2 \cdot 3 = 6 \).
10. Задуманное число — \( \overline{ab} \), то есть 36.
11. Проверим: цифра десятков (3) в 2 раза меньше цифры единиц (6). Если поменять местами: 63. \( 63 - 36 = 27 \). Условие выполняется.

Ответ: 36