В задачах 3-5 докажите подобие треугольников и, используя данные, указанные на рисунках, вычислите искомые элементы. 3. Найдите CF, если CDEF – трапеция. 4. Найдите ТН, если ТН || NP. 5. Найдите ВС. 6. Найдите тангенс угла при основании равнобедренного треугольника с основанием 30 см и боковой стороной 25 см.

3. Найдите CF, если CDEF – трапеция.

Рассмотрим трапецию CDEF. Так как CDEF - трапеция, то DE || CF. Следовательно, треугольники DEC и FCE подобны по двум углам (угол CDE = углу EFC и угол DEC = углу ECF как накрест лежащие при параллельных прямых DE и CF и секущей EC).

Запишем отношение сторон из подобия треугольников:

\[\frac{DE}{CF} = \frac{CD}{EF}\]

Из условия задачи DE = 12, CD = 8, EF = 12. Подставим известные значения в уравнение:

\[\frac{12}{CF} = \frac{8}{12}\]

Решим уравнение для CF:

\[CF = \frac{12 \cdot 12}{8} = \frac{144}{8} = 18\]

Ответ: CF = 18

Проверка за 10 секунд: Убедись, что отношение сторон DE/CF соответствует отношению CD/EF, то есть 12/18 = 8/12.

Читерский прием: Если трапеция равнобедренная, можно сразу использовать свойства равнобедренных трапеций для упрощения расчетов.

4. Найдите ТН, если ТН || NP.

Рассмотрим треугольник NPQ. Дано, что TH || NP. Следовательно, треугольники NPT и HTQ подобны по двум углам (угол NPT = углу HTQ и угол PTN = углу QTH как соответственные при параллельных прямых TH и NP и секущих NT и PQ).

Запишем отношение сторон из подобия треугольников:

\[\frac{TH}{NP} = \frac{TQ}{NQ}\]

Из условия задачи NP = 25, TQ = 12, NQ = NT + TQ = 8 + 12 = 20. Подставим известные значения в уравнение:

\[\frac{TH}{25} = \frac{12}{20}\]

Решим уравнение для TH:

\[TH = \frac{25 \cdot 12}{20} = \frac{300}{20} = 15\]

Ответ: TH = 15

Проверка за 10 секунд: Проверь, что отношение TH/NP соответствует отношению TQ/NQ, то есть 15/25 = 12/20.

Редфлаг: Всегда проверяй, какие стороны соответствуют друг другу в подобных треугольниках, чтобы не перепутать пропорции.

5. Найдите ВС.

Рассмотрим треугольник MOK. Дано, что BO || MK. Следовательно, треугольники MOK и BOC подобны по двум углам (угол MOK = углу BOC как вертикальные и угол OMK = углу OBC как соответственные при параллельных прямых BO и MK и секущей MB).

Запишем отношение сторон из подобия треугольников:

\[\frac{BC}{MK} = \frac{OB}{OK}\]

Из условия задачи MK = 18, OB = 6, OK = OC + CK = 8 + 12 = 20. Подставим известные значения в уравнение:

\[\frac{BC}{18} = \frac{6}{20}\]

Решим уравнение для BC:

\[BC = \frac{18 \cdot 6}{20} = \frac{108}{20} = 5.4\]

Ответ: BC = 5.4

Проверка за 10 секунд: Убедись, что отношение BC/MK соответствует отношению OB/OK, то есть 5.4/18 = 6/20.

Запомни: Внимательно следи за соответствием сторон при записи пропорций в подобных треугольниках, чтобы избежать ошибок.

6. Найдите тангенс угла при основании равнобедренного треугольника с основанием 30 см и боковой стороной 25 см.

Пусть дан равнобедренный треугольник ABC, где AB = BC = 25 см, AC = 30 см. Проведем высоту BH к основанию AC. Так как треугольник равнобедренный, высота BH является также и медианой, то есть AH = HC = AC / 2 = 30 / 2 = 15 см.

Рассмотрим прямоугольный треугольник ABH. По теореме Пифагора:

\[AB^2 = AH^2 + BH^2\]

Выразим BH:

\[BH^2 = AB^2 - AH^2\] \[BH = \sqrt{AB^2 - AH^2}\]

Подставим известные значения:

\[BH = \sqrt{25^2 - 15^2} = \sqrt{625 - 225} = \sqrt{400} = 20\]

Тангенс угла при основании (угол A) равен отношению противолежащего катета (BH) к прилежащему катету (AH):

\[\tan(A) = \frac{BH}{AH} = \frac{20}{15} = \frac{4}{3}\]

Ответ: \(\tan(A) = \frac{4}{3}\)

Проверка за 10 секунд: Проверь, что высота вычислена верно и тангенс угла найден как отношение высоты к половине основания.

Уровень Эксперт: Используй тригонометрические тождества для упрощения вычислений тангенса, если известны другие тригонометрические функции угла.