Алгебра
Английский
Биология
География
Геометрия
История
Русский
Обществознание
Физика
Химия
Информатика
Литература
МатематикаВопрос:
в) 5x - 4| ≤ |3 - x\; г) |x² + 2x| > 4.
Ответ:
Краткое пояснение: Решим каждое неравенство с модулем, рассматривая различные случаи раскрытия модуля, а затем найдем объединение решений.
в) \(|5x - 4| \le |3 - x|\)
- Шаг 1: Раскрытие модулей
Рассмотрим четыре случая:- Случай 1: \(5x - 4 \ge 0\) и \(3 - x \ge 0\) => \(x \ge \frac{4}{5}\) и \(x \le 3\)
Тогда \(5x - 4 \le 3 - x\) => \(6x \le 7\) => \(x \le \frac{7}{6}\)
Решение: \([\frac{4}{5}; \frac{7}{6}]\) - Случай 2: \(5x - 4 < 0\) и \(3 - x \ge 0\) => \(x < \frac{4}{5}\) и \(x \le 3\)
Тогда \(-(5x - 4) \le 3 - x\) => \(-5x + 4 \le 3 - x\) => \(-4x \le -1\) => \(x \ge \frac{1}{4}\)
Решение: \([\frac{1}{4}; \frac{4}{5})\) - Случай 3: \(5x - 4 \ge 0\) и \(3 - x < 0\) => \(x \ge \frac{4}{5}\) и \(x > 3\)
Тогда \(5x - 4 \le -(3 - x)\) => \(5x - 4 \le -3 + x\) => \(4x \le 1\) => \(x \le \frac{1}{4}\)
Нет решений, так как нет пересечения условий. - Случай 4: \(5x - 4 < 0\) и \(3 - x < 0\) => \(x < \frac{4}{5}\) и \(x > 3\)
Тогда \(-(5x - 4) \le -(3 - x)\) => \(-5x + 4 \le -3 + x\) => \(-6x \le -7\) => \(x \ge \frac{7}{6}\)
Решение: \([\frac{7}{6}; \frac{4}{5})\), но это невозможно, так как \(\frac{7}{6} > \frac{4}{5}\). Следовательно, нет решений.
- Случай 1: \(5x - 4 \ge 0\) и \(3 - x \ge 0\) => \(x \ge \frac{4}{5}\) и \(x \le 3\)
- Шаг 2: Объединение решений
Объединяем решения из случаев 1 и 2: \([\frac{1}{4}; \frac{7}{6}]\)
Ответ: \(x \in [\frac{1}{4}; \frac{7}{6}]\)
г) \(|x^2 + 2x| > 4\)
- Шаг 1: Раскрытие модуля
Рассмотрим два случая:- Случай 1: \(x^2 + 2x > 4\)
\(x^2 + 2x - 4 > 0\)
Найдем корни уравнения \(x^2 + 2x - 4 = 0\):
\[ D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4) = 4 + 16 = 20 \]
\[ x_1 = \frac{-2 + \sqrt{20}}{2} = \frac{-2 + 2\sqrt{5}}{2} = -1 + \sqrt{5} \]
\[ x_2 = \frac{-2 - \sqrt{20}}{2} = \frac{-2 - 2\sqrt{5}}{2} = -1 - \sqrt{5} \]
Решение: \(x < -1 - \sqrt{5}\) или \(x > -1 + \sqrt{5}\) - Случай 2: \(x^2 + 2x < -4\)
\(x^2 + 2x + 4 < 0\)
Найдем дискриминант уравнения \(x^2 + 2x + 4 = 0\):
\[ D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 4 - 16 = -12 \]
Так как дискриминант отрицательный, то уравнение не имеет решений. Следовательно, нет решений для \(x^2 + 2x + 4 < 0\).
- Случай 1: \(x^2 + 2x > 4\)
- Шаг 2: Объединение решений
Объединяем решения из случаев 1 и 2:
Решение: \(x < -1 - \sqrt{5}\) или \(x > -1 + \sqrt{5}\)
Ответ: \(x \in (-\infty; -1 - \sqrt{5}) \cup (-1 + \sqrt{5}; +\infty)\)
