В угол MNP, равный 36°, вписана окружность, имеющая со сторонами угла точки касания M и P. Найдите величину угла MAP. Ответ дайте в градусах.

Дано: угол $$\angle MNP = 36^{\circ}$$, окружность вписана в угол, точки касания M и P.

Найти: угол $$\angle MAP$$.

Решение:

1. Рассмотрим четырехугольник $$MAOP$$. Сумма углов четырехугольника равна 360 градусам: $$\angle MAOP = 360^{\circ}$$.

2. Так как касательная к окружности перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания, то $$\angle AMO = \angle APO = 90^{\circ}$$.

3. Тогда угол $$\angle AOP = 360^{\circ} - \angle AMO - \angle APO - \angle MNP = 360^{\circ} - 90^{\circ} - 90^{\circ} - 36^{\circ} = 144^{\circ}$$.

4. Угол $$\angle AOP$$ - центральный, опирается на дугу $$AP$$. Вписанный угол $$\angle AMP$$ опирается на ту же дугу $$AP$$.

5. Тогда $$\angle MAP = \frac{1}{2} \angle AOP = \frac{1}{2} \cdot 144^{\circ} = 72^{\circ}$$.

Ответ: 72