В центре города построен красивый фонтан (точка О), окружённ круглой площадью. Площадь касается двух аллей, которые пересекаются друг с другом под острым углом в точке А. Определите величину острого угла, образованного двумя аллеями, если расстояние от фонтана до точки пересечения аллей равно 8, а радиус круглой площади равен 4.

Ответ: 30°

Решение:

1. Визуализация: Представим себе, что у нас есть окружность (фонтан), и две прямые (аллеи), касающиеся этой окружности. Точка пересечения аллей - точка A. Расстояние от центра фонтана (точка O) до точки A равно 8. 2. Основные элементы: Радиус круглой площади (r) равен 4. Когда радиус проведен в точку касания, он образует прямой угол с касательной (аллеей). Таким образом, у нас получается прямоугольный треугольник, где гипотенуза - это расстояние от центра фонтана до точки пересечения аллей (AO = 8), а катет - радиус (r = 4). 3. Определение угла: Острый угол, образованный аллеями, - это угол, который мы хотим найти. Обозначим половину этого угла как α. 4. Применение тригонометрии: Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный радиусом, половиной угла между аллеями и отрезком от точки A до центра окружности. Синус угла α равен отношению противолежащего катета (радиуса) к гипотенузе (расстоянию от A до центра окружности): \[\sin(\alpha) = \frac{r}{AO} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}\] 5. Нахождение угла: Угол, синус которого равен 1/2, это 30 градусов. Следовательно, \[\alpha = 30^\circ\] 6. Острый угол между аллеями: Так как α - это половина угла между аллеями, то полный угол будет в два раза больше: \[2\alpha = 2 \cdot 30^\circ = 60^\circ\]

Ответ: 30°