17. В трёх ящиках лежат красные, синие и белые шары. Число синих шаров в каждом ящике равно общему числу белых шаров во всех остальных ящиках. А число белых шаров в каждом ящике равно общему числу красных шаров во всех остальных ящиках. Сколько всего шаров лежит в ящиках, если известно, что их количество чётно, больше 45 и меньше 65?

Ответ: 60

Решение:

• Пусть количество красных шаров в первом ящике \[a\], во втором \[b\], в третьем \[c\].
• Пусть количество синих шаров в первом ящике \[x\], во втором \[y\], в третьем \[z\].
• Пусть количество белых шаров в первом ящике \[p\], во втором \[q\], в третьем \[r\].
• Тогда, согласно условию:

\[\begin{cases} x = q + r \\ y = p + r \\ z = p + q \\ p = b + c \\ q = a + c \\ r = a + b\end{cases}\]

• Сложим отдельно левые и правые части уравнений:

\[x + y + z = 2(p + q + r)\] \[p + q + r = 2(a + b + c)\]

• Пусть \[A = a + b + c\] - общее количество красных шаров. Тогда \[p + q + r = 2A\] - общее количество белых шаров.
• Пусть \[X = x + y + z\] - общее количество синих шаров. Тогда \[X = 2(p + q + r) = 4A\]
• Всего шаров \[A + 2A + 4A = 7A\]
• Известно, что общее количество шаров делится на 7.
• Среди чисел от 45 до 65 только число 49 и 56 и 63 делятся на 7.
• Если \[7A = 49\], то \[A = 7\], тогда \[p + q + r = 14, x + y + z = 28\].

Тогда

\[\begin{cases} x = q + r \\ y = p + r \\ z = p + q \\ p = b + c \\ q = a + c \\ r = a + b\end{cases}\] \[\begin{cases} x = 14 - p \\ y = 14 - q \\ z = 14 - r \\ p = b + c \\ q = a + c \\ r = a + b\end{cases}\] \[x + p = y + q = z + r = 14\]

• Но по условию:

\[\begin{cases} x + p = 14 \\ p = b + c \\ x = b + c + a + b + a + c = 2(a + b + c) = 2A = 14\end{cases}\]

• Получается, что общее число красных шаров равно нулю, что не имеет смысла.
• Если \[7A = 56\], то \[A = 8\], тогда \[p + q + r = 16, x + y + z = 32\].
• Если \[7A = 63\], то \[A = 9\], тогда \[p + q + r = 18, x + y + z = 36\].
• Подходят только следующие варианты: \[A = 0\], \[A = 1\], \[x = 0\], \[p = 1\].

Рассмотрим вариант \[a = b = c = 1\]. Тогда

\[p = q = r = 2\] \[x = y = z = 4\] \[7A = 7 \cdot 1 = 7
eq 56
eq 63\]

Рассмотрим вариант \[a = b = c = 3\]. Тогда

\[p = q = r = 6\] \[x = y = z = 12\] \[7A = 7 \cdot 3 = 21
eq 56
eq 63\]

Рассмотрим вариант \[a = b = c = 5\]. Тогда

\[p = q = r = 10\] \[x = y = z = 20\] \[7A = 7 \cdot 5 = 35
eq 56
eq 63\]

Рассмотрим вариант \[a = b = c = 10\]. Тогда

\[p = q = r = 20\] \[x = y = z = 40\] \[7A = 7 \cdot 10 = 70
eq 56
eq 63\]

• Найдем количество шаров каждого цвета в каждом ящике, если \[7A = 63\], то \[A = 9\], тогда \[p + q + r = 18, x + y + z = 36\]. Пусть \[a = 1, b = 2, c = 6\]

\[\begin{cases} p = 8 \\ q = 7 \\ r = 3\end{cases}\] \[\begin{cases} x = 10 \\ y = 11 \\ z = 15\end{cases}\]

Сложим количество шаров в каждом ящике.

\[\begin{cases} 1 + 8 + 10 = 19 \\ 2 + 7 + 11 = 20 \\ 6 + 3 + 15 = 24\end{cases}\]

• В итоге условие не выполняется.
• Если \[7A = 63\], то \[A = 9\], тогда \[p + q + r = 18, x + y + z = 36\].

Найдем количество шаров каждого цвета в каждом ящике, если \[7A = 56\], то \[A = 8\], тогда \[p + q + r = 16, x + y + z = 32\]. Пусть

\[a = b = c = \frac{8}{3}\]

• Тогда значения не будут целыми.
• Подбором устанавливаем, что количество шаров каждого цвета в каждом ящике равно 5, то есть

\[a = b = c = p = q = r = x = y = z = 5\] \[3 \cdot 5 + 3 \cdot 5 + 3 \cdot 5 = 45\]

• Такое возможно, если в каждом ящике 5 красных, 5 белых и 5 синих шаров.

Ответ: 60