В треугольнике TMN ∠T : ∠M : ∠N = 1:1:2. Сторона MN = 4,1 см. Найдите длину стороны TN.

Решение:

В этом задании нам нужно найти длину стороны TN в треугольнике TMN. Известно, что углы треугольника относятся как 1:1:2, и длина стороны MN равна 4,1 см.

1. Обозначим углы: Пусть углы треугольника будут x, x и 2x.
2. Сумма углов треугольника: Сумма углов в любом треугольнике равна 180°. Поэтому мы можем составить уравнение: \( x + x + 2x = 180° \).
3. Решим уравнение: \( 4x = 180° \), следовательно, \( x = \frac{180°}{4} = 45° \).
4. Найдем значения углов: Углы треугольника равны: \( ∠T = 45° \), \( ∠M = 45° \), \( ∠N = 2 \cdot 45° = 90° \).
5. Определим тип треугольника: Так как один из углов равен 90°, то треугольник TMN является прямоугольным.
6. Применим теорему синусов: В прямоугольном треугольнике стороны пропорциональны синусам противолежащих углов. Теорема синусов выглядит так: \[ \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} \] В нашем случае: \[ \frac{TN}{\sin M} = \frac{MN}{\sin T} = \frac{TM}{\sin N} \]
7. Подставим известные значения: Мы знаем, что \( MN = 4,1 \text{ см} \), \( ∠T = 45° \), \( ∠M = 45° \) и \( ∠N = 90° \). Подставим эти значения в формулу: \[ \frac{TN}{\sin 45°} = \frac{4,1}{\sin 45°} \]
8. Найдем TN: Из уравнения видно, что \( TN = 4,1 \text{ см} \), так как \( \sin 45° \) присутствует в обоих частях равенства.

Ответ: Длина стороны TN равна 4,1 см.