В треугольнике PQR точки M и N – середины сторон PQ и QR соответственно. Внутри треугольника PQR случайным образом выбрана точка A. Какова вероятность, что точка A оказалась внутри четырёхугольника PMNR?

Привет! Давай решим эту задачу вместе. Понимание задачи У нас есть треугольник $$PQR$$, и точки $$M$$ и $$N$$ – середины сторон $$PQ$$ и $$QR$$ соответственно. Мы хотим найти вероятность того, что случайно выбранная точка $$A$$ внутри треугольника $$PQR$$ окажется внутри четырёхугольника $$PMNR$$. Решение 1. Площадь треугольника $$MQN$$: Так как $$M$$ и $$N$$ – середины сторон, то $$QM = \frac{1}{2} PQ$$ и $$QN = \frac{1}{2} QR$$. Кроме того, угол $$Q$$ общий для треугольников $$MQN$$ и $$PQR$$. Площадь треугольника $$MQN$$ равна: $$S_{MQN} = \frac{1}{2} cdot QM cdot QN cdot \sin{Q} = \frac{1}{2} cdot (\frac{1}{2} PQ) cdot (\frac{1}{2} QR) cdot \sin{Q} = \frac{1}{4} cdot (\frac{1}{2} cdot PQ cdot QR cdot \sin{Q}) = \frac{1}{4} S_{PQR}$$ То есть, площадь треугольника $$MQN$$ составляет $$\frac{1}{4}$$ площади треугольника $$PQR$$. 2. Площадь четырехугольника $$PMNR$$: Площадь четырехугольника $$PMNR$$ равна разности площади треугольника $$PQR$$ и площади треугольника $$MQN$$: $$S_{PMNR} = S_{PQR} - S_{MQN} = S_{PQR} - \frac{1}{4} S_{PQR} = \frac{3}{4} S_{PQR}$$ 3. Вероятность попадания точки $$A$$ в четырехугольник $$PMNR$$: Вероятность того, что случайно выбранная точка $$A$$ окажется внутри четырехугольника $$PMNR$$, равна отношению площади этого четырехугольника к площади треугольника $$PQR$$: $$P(A \in PMNR) = \frac{S_{PMNR}}{S_{PQR}} = \frac{\frac{3}{4} S_{PQR}}{S_{PQR}} = \frac{3}{4}$$ Ответ Вероятность того, что точка $$A$$ окажется внутри четырехугольника $$PMNR$$, равна $$\frac{3}{4}$$ или 75%. Итоговый ответ: 0.75