1. В треугольнике MNP точка К лежит на стороне МN, при- чем угол NKP острый. Докажите, что КР < MP. 2. Найдите углы треугольника АВС, если угол В на 40° больше угла А, а угол С в пять раз больше угла А. 3. В прямоугольном треугольнике ABC (ZC = 90°) биссек- трисы CD и ВЕ пересекаются в точке О. ДВОС = 95°. Найдите острые углы треугольника АВС. 4*. Один из внешних углов треугольника в два раза больше другого внешнего угла этого треугольника. Найдите разность между этими внешними углами, если внутренний угол треуголь- ника, не смежный с указанными внешними углами, равен 60°.

Задание 1

По условию, угол NKP - острый. Следовательно, смежный с ним угол MКP - тупой (так как их сумма равна 180°). В треугольнике против большего угла лежит большая сторона. Значит, в треугольнике MKP сторона MP лежит против тупого угла MKP, а сторона KP - против острого угла KMP. Следовательно, MP > KP, что и требовалось доказать.

Задание 2

Пусть угол A = x. Тогда угол B = x + 40°, а угол C = 5x. Сумма углов треугольника равна 180°, поэтому получаем уравнение:

\[x + (x + 40°) + 5x = 180°\] \[7x + 40° = 180°\] \[7x = 140°\] \[x = 20°\]

Следовательно, угол A = 20°, угол B = 20° + 40° = 60°, а угол C = 5 \cdot 20° = 100°.

Задание 3

В прямоугольном треугольнике ABC угол C = 90°. Пусть угол A = α, тогда угол B = 90° - α. Так как CD и BE - биссектрисы, то угол BCE = (90° - α)/2, угол ACD = 90°/2 = 45°.

Рассмотрим треугольник BOC. Угол BOC = 95°. Следовательно, угол OBC + угол OCB = 180° - 95° = 85°.

\[\frac{90 - \alpha}{2} + \frac{\alpha}{2} = 85\]

Тогда угол A + угол B = 180° - 90° = 90°.

Угол OCB = 45, следовательно, \(\frac{\angle B}{2} = 85 - \frac{\alpha}{2}\)

Рассмотрим треугольник BOC: \(\angle BOC = 95°\), значит, \(\angle OBC + \angle OCB = 180° - 95° = 85°\)

Пусть \(\angle A = x\), тогда \(\angle B = 90° - x\).

Тогда \(\angle OBE = \frac{90 - x}{2}\) и \(\angle OCD = \frac{90}{2} = 45°\).

В треугольнике \(BOC\):

\(\angle BOC = 180° - (\angle OBC + \angle OCB)\)

\(95° = 180° - (\frac{90° - x}{2} + 45°)\)

\(95° = 180° - 45° + \frac{x}{2} - 45°\)

\(95° = 90° + \frac{x}{2}\)

\(\frac{x}{2} = 5°\)

\(x = 10°\)

Тогда \(\angle A = 10°\) и \(\angle B = 90° - 10° = 80°\).

Ответ: Углы A = 10°, B = 80°.

Задание 4

Пусть один внешний угол равен 2x, тогда другой внешний угол равен x. Внутренний угол, не смежный с этими внешними углами, равен 60°. Сумма внешнего и внутреннего углов, смежных с ним, равна 180°. Значит, смежные внутренние углы равны (180° - 2x) и (180° - x) соответственно.

Сумма углов треугольника равна 180°, поэтому:

\[60° + (180° - 2x) + (180° - x) = 180°\] \[60° + 180° - 2x + 180° - x = 180°\] \[420° - 3x = 180°\] \[3x = 240°\] \[x = 80°\]

Тогда один внешний угол равен 2 \cdot 80° = 160°, а другой равен 80°. Разность между ними равна 160° - 80° = 80°.

Ответ: 80°.

Проверка за 10 секунд: Убедитесь, что сумма углов треугольника в задаче 2 равна 180°, а разность внешних углов в задаче 4 соответствует условию.

Доп. профит: База. Помни основные теоремы геометрии, чтобы быстро решать задачи.