16. В треугольнике MNK на стороне МК отметили произвольную точку Р. В треугольнике MNP провели биссектрису РТ. В треугольнике NKP построили высоту PQ. Угол ТРQ равен 90°, PK = 8. Найди NP.

Рассмотрим треугольник TPQ. Так как угол TPQ = 90°, то это прямоугольный треугольник. PQ - высота, следовательно, угол PQT = 90°.

В треугольнике NKP, PQ - высота, а угол TPQ = 90°, следовательно, PT - продолжение биссектрисы угла MNP, является одновременно и высотой в треугольнике MNP. Отсюда следует, что треугольник MNP - равнобедренный, и NP = MP.

Пусть NP = x. Тогда MP = x, и MK = MP + PK = x + 8.

Так как PT - биссектриса треугольника MNP, то угол MPT = угол NPT.

Рассмотрим треугольник NKP. PQ - высота, следовательно, треугольник PQT - прямоугольный, и угол PQT = 90°.

В прямоугольном треугольнике TPQ, угол TPQ = 90°, следовательно, PT - биссектриса, и она же высота, значит, треугольник NKP - равнобедренный, и NP = KP.

Тогда NP = PK = 8.

Ответ: 8