16. В треугольнике MNK на стороне МК отметили произвольную точку Р. В треугольнике MNP провели биссектрису PT. В треугольнике NKP построили высоту PQ. Угол TPQ равен 90°, РК = 19. Найди NP.

Здравствуйте, ребята! Давайте решим эту задачу вместе. **Дано:** * Треугольник MNK * P - точка на MK * PT - биссектриса угла MNP * PQ - высота треугольника NKP (PQ перпендикулярна NK) * ∠TPQ = 90° * PK = 19 **Найти:** NP **Решение:** 1. Рассмотрим треугольник MNP. PT - биссектриса угла MNP, значит ∠MPT = ∠TPN. 2. Рассмотрим треугольник NKP. PQ - высота, следовательно ∠PQK = 90°. 3. Дано ∠TPQ = 90°. 4. Имеем ∠TPN + ∠NPQ = ∠TPQ = 90°. 5. Также имеем ∠MPT + ∠TPN = ∠MNP. 6. Рассмотрим треугольники MPT и NPT. У нас есть: * PT - общая сторона, * ∠MPT = ∠TPN (PT - биссектриса), * ∠MTP = ∠NTP (так как ∠TPQ = 90° и PQ - высота, а PT - биссектриса, следовательно, PT является и высотой) 7. Из равенства углов MTP и NTP следует, что треугольники MPT и NPT равны по стороне и двум прилежащим углам. 8. Из равенства треугольников MPT и NPT следует, что MP = NP. 9. Рассмотрим треугольник NKP. В нем PQ - высота, и угол TPQ = 90 градусов. Это означает, что точка T лежит на стороне NK, и PT является одновременно биссектрисой и высотой в треугольнике MNP. Значит, треугольник MNP - равнобедренный, и MP = NP. 10. Поскольку треугольник MNP равнобедренный, а PT - биссектриса, то PT является и медианой, следовательно MT = TN. 11. Теперь рассмотрим треугольник NKP, в котором PQ - высота. Учитывая, что угол TPQ = 90 градусов, можно сделать вывод, что треугольник NTP равнобедренный с основанием NP. 12. Следовательно, NP = PK. 13. Так как PK = 19, то NP = 19. **Ответ:** NP = **19**