5. 1. В треугольнике ЛВС угол АСВ тупой. Продолжения высот ЛА, ВВ и СС, пересекаются в точке О. Докажите, что ∠ABC-L ЛОС и LOACLOBC. 2. В треугольнике ЛВС С 90°, CD высота трсугольника, ВС - - 2BD. Докажите, что AD - 3DB.

Привет! Задание интересное, давай разбираться. 1. В треугольнике \(ABC\) угол \(\angle ACB\) тупой. Продолжения высот \(AA_1\), \(BB_1\) и \(CC_1\) пересекаются в точке \(O\). Докажите, что \(\angle ABC = \angle AOC\) и \(\angle OAC = \angle OBC\). К сожалению, без рисунка тут не обойтись, но я постараюсь объяснить максимально подробно: * Рассмотрим четырехугольник \(A_1CB_1O\). Углы \(\angle AA_1C\) и \(\angle BB_1C\) прямые (так как \(AA_1\) и \(BB_1\) - высоты). Следовательно, сумма углов \(\angle A_1CB_1\) и \(\angle A_1OB_1\) равна 180 градусам. * Угол \(\angle A_1OB_1\) равен углу \(\angle AOC\) (вертикальные углы). Значит, \(\angle ACB + \angle AOC = 180^\circ\). * Теперь рассмотрим четырехугольник \(AB_1A_1B\). Углы \(\angle AA_1B\) и \(\angle BB_1A\) прямые. Следовательно, \(\angle A\) + \(\angle B\) + \(\angle A_1\) + \(\angle B_1\) = 360. Так как углы \(\angle AA_1B\) и \(\angle BB_1A\) прямые, то \(\angle BAC + \angle ABC = 180^\circ\). * Теперь смотрим на четырехугольник \(COB_1A_1\). Углы \(\angle O A_1 C\) и \(\angle O B_1 C\) прямые. Значит, \(\angle A_1 O B_1 + \angle A_1 C B_1 = 180^\circ \). Отсюда следует, что \(\angle AOC = 180 - \angle C\), но \(\angle ABC = 180 - \angle C\). Следовательно, \(\angle ABC = \angle AOC\). * Теперь докажем, что \(\angle OAC = \angle OBC\). Рассмотрим треугольники \(\triangle AOC\) и \(\triangle BOC\). По доказанному ранее \(\angle AOC = \angle ABC\) и \(\angle ACB = \angle AOC\), значит углы \(\angle OAC\) и \(\angle OBC\) тоже равны. 2. В треугольнике \(ABC\) \(\angle C = 90^\circ\), \(CD\) - высота треугольника, \(BC = 2BD\). Докажите, что \(AD = 3DB\). * Пусть \(BD = x\), тогда \(BC = 2x\). * Рассмотрим треугольник \(\triangle BCD\). Он прямоугольный. Выразим \(CD\) по теореме Пифагора: \[CD = \sqrt{BC^2 - BD^2} = \sqrt{(2x)^2 - x^2} = \sqrt{4x^2 - x^2} = \sqrt{3x^2} = x\sqrt{3}.\] * Теперь рассмотрим треугольник \(\triangle ACD\). Он тоже прямоугольный. Выразим \(AD\) по теореме Пифагора: \[AD = \sqrt{AC^2 - CD^2}.\] * Нам нужно выразить \(AC\) через \(x\). Для этого рассмотрим треугольник \(\triangle ABC\). По теореме Пифагора: \[AB^2 = AC^2 + BC^2.\] * Выразим \(AB\) как \(AD + DB\), то есть \(AD + x\). Получаем: \[(AD + x)^2 = AC^2 + (2x)^2.\] * Из треугольника \(\triangle ACD\) выразим \(AC^2\) как \(AD^2 + CD^2\), то есть \(AD^2 + (x\sqrt{3})^2 = AD^2 + 3x^2\). Подставим это в предыдущее уравнение: \[(AD + x)^2 = AD^2 + 4x^2 + 3x^2.\] * Раскроем скобки: \[AD^2 + 2ADx + x^2 = AD^2 + 7x^2.\] * Сократим \(AD^2\) и перенесем \(x^2\) в правую часть: \[2ADx = 6x^2.\] * Разделим обе части на \(2x\): \[AD = 3x.\] * Так как \(BD = x\), то \(AD = 3BD\).

Ответ: смотри решение