В треугольнике KMN: KM = 35, KN = 12, MN = 35. Угол при вершине K обозначен α. Найдите tg α, sin α и cos α.

По отметкам на чертеже и данным задачи: \(KM=MN=35\), \(KN=12\). В треугольнике \(KMN\) угол \(KNM\) прямой, поэтому \(KM\) — гипотенуза.

Для угла \(\alpha=\angle MKN\):

\[\tan\alpha=\frac{MN}{KN}=\frac{35}{12}.\]

\[\sin\alpha=\frac{MN}{KM}=\frac{35}{35}=1.\]

Однако полученное значение \(\sin\alpha=1\) невозможно для острого угла, а при указанных длинах \(12^2+35^2\ne35^2\). Следовательно, данные на чертеже противоречивы: если \(KM=35\), \(KN=12\), а угол \(KNM\) прямой, то \(MN=\sqrt{35^2-12^2}=\sqrt{1081}\), а не \(35\).

При согласованных данных:

\[\tan\alpha=\frac{\sqrt{1081}}{12},\qquad \sin\alpha=\frac{\sqrt{1081}}{35},\qquad \cos\alpha=\frac{12}{35}.\]

Ответ: по рисунку данные противоречивы; при исправлении \(MN=\sqrt{1081}\): \(\tan\alpha=\frac{\sqrt{1081}}{12}\), \(\sin\alpha=\frac{\sqrt{1081}}{35}\), \(\cos\alpha=\frac{12}{35}\).