15. В треугольнике KLN проведены медиана LM и высота LH (см. рис. 79). Известно, что KN = 36 и LM = LN. Найдите КH.

Обозначим KH = x. Так как LM - медиана, то KM = MN = KN/2 = 36/2 = 18.

Тогда MH = KM - KH = 18 - x.

Так как LH - высота, то треугольник LHN - прямоугольный, и треугольник LHM - прямоугольный.

По теореме Пифагора для треугольника LHN: LN² = LH² + HN²

По теореме Пифагора для треугольника LHM: LM² = LH² + HM²

Так как LM = LN, то LH² + HN² = LH² + HM²

Следовательно, HN² = HM²

HN = KN - KH = 36 - x

HM = 18 - x

Тогда (36 - x)² = (18 - x)²

Раскроем скобки:

1296 - 72x + x² = 324 - 36x + x²

1296 - 72x = 324 - 36x

36x = 972

x = 27

KH = 27

Ответ: 27