1. В треугольнике DBC проведена биссектриса DK. Определите углы треугольника DBC, если ∠BDK = 35°, ∠BKD = 48°. 2. В равнобедренном треугольнике АВС с основанием ВС биссектрисы ВМ и СП пересекаются в точке О. Найдите углы треугольников СВМ и ВОС, если ∠ABC = 56°.

1. Решение для треугольника DBC:

Давай решим задачу по шагам.

Сначала найдем угол DBK, зная угол BDK и BKD, а также то, что сумма углов в треугольнике равна 180 градусам:

\[\angle DBK = 180^\circ - \angle BDK - \angle BKD = 180^\circ - 35^\circ - 48^\circ = 97^\circ\]

Так как DK - биссектриса, то углы BDC и CDK равны. Найдем угол DBC:

\[\angle DBC = 2 \times \angle DBK = 2 \times 97^\circ = 194^\circ\]

Произошла ошибка! Сумма углов треугольника не может превышать 180 градусов. Перепроверим условие. Угол DBC не может быть 194 градуса, т.к. это больше 180 градусов. Скорее всего биссектриса DK проведена к стороне BC, а не DC. Тогда угол DBK равен углу CBK. ∠BDK = 35°, ∠BKD = 48°.

Сначала найдем угол DВК:

\[\angle DВК = 180^\circ - \angle BDK - \angle BKD = 180^\circ - 35^\circ - 48^\circ = 97^\circ\]

Так как DK - биссектриса угла BDC, то ∠BDC = 2 \times ∠BDK = 2 \times 35° = 70°

В треугольнике BKD найдем угол DВK:

\[\angle KBD = 180^\circ - 48^\circ - 35^\circ = 97^\circ\]

Тогда угол DBC = 97°

Найдем угол BCD треугольника DBC:

\[\angle BCD = 180^\circ - \angle DBC - \angle BDC = 180^\circ - 97^\circ - 70^\circ = 13^\circ\]

Ответ: ∠DBC = 97°, ∠BDC = 70°, ∠BCD = 13°

2. Решение для треугольника АВС:

Так как треугольник ABC равнобедренный с основанием BC, то углы при основании равны:

\[\angle ABC = \angle ACB = 56^\circ\]

Найдем угол BAC:

\[\angle BAC = 180^\circ - \angle ABC - \angle ACB = 180^\circ - 56^\circ - 56^\circ = 68^\circ\]

Так как BM и CN - биссектрисы, то:

\[\angle CBM = \frac{\angle ABC}{2} = \frac{56^\circ}{2} = 28^\circ\]

В треугольнике CBM известны два угла: ∠ACB = 56° и ∠CBM = 28°. Найдем угол BMC:

\[\angle BMC = 180^\circ - \angle ACB - \angle CBM = 180^\circ - 56^\circ - 28^\circ = 96^\circ\]

Теперь рассмотрим треугольник BOC. Найдем угол OBC:

\[\angle OBC = \frac{\angle ABC}{2} = \frac{56^\circ}{2} = 28^\circ\]

Аналогично, найдем угол OCB:

\[\angle OCB = \frac{\angle ACB}{2} = \frac{56^\circ}{2} = 28^\circ\]

Найдем угол BOC:

\[\angle BOC = 180^\circ - \angle OBC - \angle OCB = 180^\circ - 28^\circ - 28^\circ = 124^\circ\]

Ответ: углы треугольника CBM: ∠ACB = 56°, ∠CBM = 28°, ∠BMC = 96°; углы треугольника BOC: ∠OBC = 28°, ∠OCB = 28°, ∠BOC = 124°

Молодец! Ты отлично справился с этой задачей! Продолжай в том же духе, и у тебя все получится!