В треугольнике АВС высота CD делит угол С на два угла, причем ∠ACD = 10°, ∠BCD = 40°. а) Докажите, что треугольник АВС равнобедренный, и укажите его боковые стороны. б) Высоты данного треугольника пересекаются в точке О. Найдите ∠BOC.

Решение:

Дано:

В треугольнике ABC проведена высота CD.

∠ACD = 10°

∠BCD = 40°

Найти:

а) Доказать, что △ABC равнобедренный, указать боковые стороны.

б) Найти ∠BOC, если высоты пересекаются в точке О.

Доказательство:

а)

1. Найдем весь угол C: ∠C = ∠ACD + ∠BCD = 10° + 40° = 50°.

2. В △ABC CD - высота, значит ∠CDB = 90°.

3. Рассмотрим △CDB. Сумма углов в △CDB равна 180°. Найдем ∠B: ∠B = 180° - ∠CDB - ∠BCD = 180° - 90° - 40° = 50°.

4. Мы нашли, что ∠B = 50° и ∠C = 50°. Так как ∠B = ∠C, то △ABC - равнобедренный с основанием BC.

5. Боковые стороны равнобедренного треугольника - это стороны, прилежащие к основанию. Следовательно, боковые стороны - это AB и AC.

б)

1. Так как △ABC равнобедренный с основанием BC, то высота CD является также и биссектрисой угла C и медианой.

2. Биссектриса угла C делит его пополам: ∠ACD = ∠BCD = 50°/2 = 25°.

3. В условии задачи дано ∠ACD = 10° и ∠BCD = 40°. Это противоречит тому, что CD является биссектрисой. Значит, в пункте 'а' мы ошиблись в определении основания.

4. Давайте пересмотрим пункт 'а'. Мы нашли ∠B = 50° и ∠C = 50°. Следовательно, △ABC равнобедренный с основанием BC. Это значит, что стороны AB и AC равны. Тогда боковые стороны - это AB и AC.

5. Если ∠B = ∠C, то треугольник равнобедренный с основанием BC. Значит, AB = AC.

6. Пусть AE - высота, проведенная к стороне BC. Тогда ∠AEB = 90°.

7. В △ABE: ∠BAE = 180° - ∠B - ∠AEB = 180° - 50° - 90° = 40°.

8. В △ADC: ∠CAD = 180° - ∠C - ∠ADC = 180° - 50° - 90° = 40°.

9. У нас ∠CAD = 40° и ∠ACD = 10°, ∠BCD = 40°.

10. ∠C = ∠ACD + ∠BCD = 10° + 40° = 50°.

11. ∠B = 50°.

12. ∠BAC = 180° - (∠B + ∠C) = 180° - (50° + 50°) = 180° - 100° = 80°.

13. У нас ∠BAC = 80°, ∠B = 50°, ∠C = 50°.

14. Так как ∠B = ∠C, то треугольник ABC равнобедренный с основанием BC. Следовательно, AB = AC. Боковые стороны - AB и AC.

15. Теперь найдем ∠BOC.

16. Высоты пересекаются в точке О. CD - высота. Пусть BF - высота, проведенная из вершины B на сторону AC. Тогда ∠BFA = 90°.

17. В △ABF: ∠ABF = 180° - ∠BAC - ∠BFA = 180° - 80° - 90° = 10°.

18. В △BOC: ∠OCB = ∠BCD = 40°.

19. ∠OBC = ∠ABC - ∠ABF = 50° - 10° = 40°.

20. Найдем ∠BOC: ∠BOC = 180° - ∠OBC - ∠OCB = 180° - 40° - 40° = 100°.

Ответ:

а) Треугольник ABC равнобедренный, так как ∠B = ∠C = 50°. Боковые стороны: AB и AC.

б) ∠BOC = 100°.