25. В треугольнике АВС угол В равен 45°, угол С равен 85°, AD — биссектриса, Е — такая точка на АВ, что АЕ = AC. Найдите угол BDE. Ответ дайте в градусах.

Сначала найдем угол A в треугольнике ABC. Сумма углов в треугольнике равна 180°, поэтому: \[\angle A = 180^\circ - \angle B - \angle C = 180^\circ - 45^\circ - 85^\circ = 50^\circ\]

Так как AD - биссектриса угла A, то: \[\angle BAD = \frac{1}{2} \angle A = \frac{1}{2} \cdot 50^\circ = 25^\circ\]

Рассмотрим треугольник AЕC, в котором AE = AC. Это означает, что треугольник равнобедренный, и углы при его основании равны: \[\angle AEC = \angle ACE = \frac{180^\circ - \angle A}{2} = \frac{180^\circ - 50^\circ}{2} = \frac{130^\circ}{2} = 65^\circ\]

Угол BEC - смежный с углом AEC, поэтому: \[\angle BEC = 180^\circ - \angle AEC = 180^\circ - 65^\circ = 115^\circ\]

Теперь рассмотрим треугольник BDE. Нам нужно найти угол BDE. Сначала найдем угол BED. Угол AEС и угол DEB - вертикальные, значит, \(\angle DEB = \angle AEC = 65^\circ\)

В треугольнике BDE известны углы \(\angle DBE = 45^\circ\) (угол B) и \(\angle DEB = 65^\circ\). Тогда угол BDE равен: \[\angle BDE = 180^\circ - \angle DBE - \angle DEB = 180^\circ - 45^\circ - 65^\circ = 70^\circ\]