347. В треугольнике АВС угол В – прямой. Найдите tgA, если: a) sinA=\frac{\sqrt{2}}{2}; б) sinA=0,6; в) cosA = \frac{1}{\sqrt{10}}; г) cosA = \frac{5}{\sqrt{41}}.

a) Дано: \(\sin A = \frac{\sqrt{2}}{2}\). Найти: \(\tg A\).

В прямоугольном треугольнике \(\sin A = \frac{a}{c}\), где \(a\) - катет, противолежащий углу A, \(c\) - гипотенуза. Т.к. \(\sin A = \frac{\sqrt{2}}{2}\), то \(a = \sqrt{2}\), \(c = 2\). По теореме Пифагора найдем катет \(b\):

\(a^2 + b^2 = c^2\)

\((\sqrt{2})^2 + b^2 = 2^2\)

\(2 + b^2 = 4\)

\(b^2 = 2\)

\(b = \sqrt{2}\)

Тангенс угла A равен отношению противолежащего катета к прилежащему:

\(\tg A = \frac{a}{b} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = 1\)

Ответ: 1

---

б) Дано: \(\sin A = 0.6\). Найти: \(\tg A\).

\(\sin A = \frac{a}{c} = 0.6 = \frac{3}{5}\). Тогда \(a = 3, c = 5\). Найдем \(b\) по теореме Пифагора:

\(a^2 + b^2 = c^2\)

\(3^2 + b^2 = 5^2\)

\(9 + b^2 = 25\)

\(b^2 = 16\)

\(b = 4\)

\(\tg A = \frac{a}{b} = \frac{3}{4} = 0.75\)

Ответ: 0.75

---

в) Дано: \(\cos A = \frac{1}{\sqrt{10}}\). Найти: \(\tg A\).

\(\cos A = \frac{b}{c} = \frac{1}{\sqrt{10}}\). Тогда \(b = 1, c = \sqrt{10}\). Найдем \(a\) по теореме Пифагора:

\(a^2 + b^2 = c^2\)

\(a^2 + 1^2 = (\sqrt{10})^2\)

\(a^2 + 1 = 10\)

\(a^2 = 9\)

\(a = 3\)

\(\tg A = \frac{a}{b} = \frac{3}{1} = 3\)

Ответ: 3

---

г) Дано: \(\cos A = \frac{5}{\sqrt{41}}\). Найти: \(\tg A\).

\(\cos A = \frac{b}{c} = \frac{5}{\sqrt{41}}\). Тогда \(b = 5, c = \sqrt{41}\). Найдем \(a\) по теореме Пифагора:

\(a^2 + b^2 = c^2\)

\(a^2 + 5^2 = (\sqrt{41})^2\)

\(a^2 + 25 = 41\)

\(a^2 = 16\)

\(a = 4\)

\(\tg A = \frac{a}{b} = \frac{4}{5} = 0.8\)

Ответ: 0.8