3. В треугольнике АВС, угол С равен 45°, BC = 12 см, а высота ВД делит сторону АС на отрезки АД = 5 см, ДС = 7 см. Найти высоту, проведенную к стороне BC.

3. В треугольнике ABC, угол C равен 45°, BC = 12 см, AD = 5 см, DC = 7 см. Необходимо найти высоту, проведённую к стороне BC.

Рассмотрим треугольник BCD, в котором угол C равен 45°. Так как BD - высота, то треугольник BCD - прямоугольный, и угол BDC = 90°.

В прямоугольном треугольнике BCD:

$$BD = DC \cdot \tan(\angle C) = 7 \cdot \tan(45^\circ) = 7 \cdot 1 = 7 \text{ см}$$.

Площадь треугольника ABC можно найти как половину произведения основания на высоту. Используем сторону AC в качестве основания и высоту BD:

$$S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BD$$.

Длина стороны AC равна сумме отрезков AD и DC:

$$AC = AD + DC = 5 + 7 = 12 \text{ см}$$.

Тогда площадь треугольника ABC равна:

$$S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 7 = 42 \text{ см}^2$$.

Теперь найдём высоту, проведённую к стороне BC. Пусть эта высота равна $$h$$. Тогда:

$$S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot h$$.

Подставим известные значения:

$$42 = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot h$$.

Решим уравнение относительно h:

$$h = \frac{2 \cdot 42}{12} = \frac{84}{12} = 7 \text{ см}$$.

Ответ: 7 см