В треугольнике АВС угол C равен 90°, СН — высота, АВ = 90, \( \sin A = \frac{2}{3} \). Найдите длину отрезка ВН.

В прямоугольном треугольнике ABC, \( \angle C = 90^{\circ} \) и \( AB = 90 \). Нам дано, что \( \sin A = \frac{2}{3} \).

В прямоугольном треугольнике синус угла — это отношение противолежащего катета к гипотенузе.

Для угла A, противолежащий катет — это BC, а гипотенуза — AB.

\[ \sin A = \frac{BC}{AB} \]

Подставим известные значения:

\[ \frac{2}{3} = \frac{BC}{90} \]

Найдем длину катета BC:

\[ BC = 90 \times \frac{2}{3} = 30 \times 2 = 60 \]

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник BHC. В нем \( \angle CHB = 90^{\circ} \).

Угол B в треугольнике ABC равен \( 90^{\circ} - A \).

В треугольнике BHC, угол B является тем же углом B, что и в треугольнике ABC.

Мы можем найти \( \cos A \) с помощью основного тригонометрического тождества: \( \sin^2 A + \cos^2 A = 1 \).

\[ (\frac{2}{3})^2 + \cos^2 A = 1 \]

\[ \frac{4}{9} + \cos^2 A = 1 \]

\[ \cos^2 A = 1 - \frac{4}{9} = \frac{5}{9} \]

\[ \cos A = \sqrt{\frac{5}{9}} = \frac{\sqrt{5}}{3} \]

В прямоугольном треугольнике BHC, \( \cos B = \frac{BH}{BC} \). Но нам удобнее использовать угол A.

В треугольнике ABC, \( \cos A = \frac{AC}{AB} \). Значит, \( AC = AB \cos A = 90 \times \frac{\sqrt{5}}{3} = 30\sqrt{5} \).

Рассмотрим треугольник BHC. Угол HBC равен углу ABC. Угол C равен 90 градусов.

В треугольнике ABC, \( \sin B = \cos A = \frac{\sqrt{5}}{3} \) и \( \cos B = \sin A = \frac{2}{3} \).

В прямоугольном треугольнике BHC, \( BH \) является прилежащим катетом к углу B, а BC — гипотенузой.

\[ \cos B = \frac{BH}{BC} \]

\[ \frac{2}{3} = \frac{BH}{60} \]

\[ BH = 60 \times \frac{2}{3} = 20 \times 2 = 40 \]

Альтернативный способ:

В прямоугольном треугольнике ABC, \( \sin A = \frac{BC}{AB} \). Мы нашли \( BC = 60 \).

В прямоугольном треугольнике BHC, \( \angle BCH = 90^{\circ} - \angle B = \angle A \).

В треугольнике BHC, \( \sin(\angle BCH) = \sin A = \frac{BH}{BC} \).

Подставляем известные значения:

\[ \frac{2}{3} = \frac{BH}{60} \]

\[ BH = 60 \times \frac{2}{3} = 40 \]

Ответ: 40