В треугольнике АВС угол C равен 90°, АС = 12, tg A = 4√7 / 3. Найдите АВ.

Решение:

В прямоугольном треугольнике ABC, где угол C равен 90°, нам дано:

• Длина катета AC = 12.
• Тангенс угла A, \( \text{tg } A = \frac{4\sqrt{7}}{3} \).

Мы знаем, что тангенс угла в прямоугольном треугольнике равен отношению противолежащего катета к прилежащему катету. В нашем случае:

\( \text{tg } A = \frac{\text{BC}}{\text{AC}} \)

Подставим известные значения:

\( \frac{4\sqrt{7}}{3} = \frac{\text{BC}}{12} \)

Теперь найдем длину катета BC, умножив обе стороны на 12:

\( \text{BC} = 12 \cdot \frac{4\sqrt{7}}{3} = 4 \cdot 4\sqrt{7} = 16\sqrt{7} \)

Теперь, когда у нас есть длины обоих катетов \(AC = 12 и BC = 16\sqrt{7}\), мы можем найти гипотенузу AB, используя теорему Пифагора: \( AB^2 = AC^2 + BC^2 \).

\( AB^2 = 12^2 + (16\sqrt{7})^2 \)

\( AB^2 = 144 + (16^2 \cdot (\sqrt{7})^2) \)

\( AB^2 = 144 + (256 \cdot 7) \)

\( AB^2 = 144 + 1792 \)

\( AB^2 = 1936 \)

Чтобы найти AB, извлечем квадратный корень из 1936:

\( AB = \sqrt{1936} \)

\( AB = 44 \)

Ответ: AB = 44.