В треугольнике АВС угол C равен 90°, АС = 10, tg A = √11/5. Найдите АВ.

Решение:

В прямоугольном треугольнике тангенс острого угла определяется как отношение противолежащего катета к прилежащему катету.

Для угла A:

• Противолежащий катет — BC
• Прилежащий катет — AC

Таким образом, \( \text{tg } A = \frac{BC}{AC} \).

Нам дано:

• \( AC = 10 \)
• \( \text{tg } A = \frac{\sqrt{11}}{5} \)

Подставим известные значения в формулу:

\( \frac{\sqrt{11}}{5} = \frac{BC}{10} \)

Чтобы найти длину катета BC, умножим обе части уравнения на 10:

\( BC = 10 \cdot \frac{\sqrt{11}}{5} = 2\sqrt{11} \)

Теперь, когда мы знаем длины обоих катетов (AC = 10 и BC = \( 2\sqrt{11} \)), мы можем найти гипотенузу AB, используя теорему Пифагора: \( AB^2 = AC^2 + BC^2 \).

Подставим значения:

\( AB^2 = 10^2 + (2\sqrt{11})^2 \)

\( AB^2 = 100 + (4 \cdot 11) \)

\( AB^2 = 100 + 44 \)

\( AB^2 = 144 \)

Теперь найдём AB, взяв квадратный корень из обеих частей:

\( AB = \sqrt{144} \)

\( AB = 12 \)

Ответ: 12