В треугольнике АВС угол C равен 90°, AC = 7, cos A = \(\frac{7\sqrt{58}}{58}\). Найдите длину стороны AB.

Решение:

В прямоугольном треугольнике ABC, где угол C = 90°:

Косинус угла A определяется как отношение прилежащего катета к гипотенузе:

\[ \cos A = \frac{\text{прилежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{AC}{AB} \]

Нам дано, что \(AC = 7\) и \(\cos A = \frac{7\sqrt{58}}{58}\).

Подставим известные значения в формулу:

\[ \frac{7\sqrt{58}}{58} = \frac{7}{AB} \]

Чтобы найти AB, мы можем перекрестно умножить:

\[ 7\sqrt{58} \times AB = 7 \times 58 \]

Разделим обе стороны на \(7\sqrt{58}\):

\[ AB = \frac{7 \times 58}{7\sqrt{58}} \]

Сократим 7:

\[ AB = \frac{58}{\sqrt{58}} \]

Чтобы избавиться от корня в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на \(\sqrt{58}\):

\[ AB = \frac{58 \times \sqrt{58}}{\sqrt{58} \times \sqrt{58}} = \frac{58\sqrt{58}}{58} \]

Сократим 58:

\[ AB = \sqrt{58} \]

Ответ: \(\sqrt{58}\)