В треугольнике АВС угол C равен 90°, СН - высота, АВ = 36, sin A =-. Найдите длину отрезка АН. 6

Ответ: 25

1. Шаг 1: Найдем сторону AC.

Используем определение синуса угла в прямоугольном треугольнике: \[\sin A = \frac{BC}{AB}\]

Нам дано \[\sin A = \frac{5}{6}\] и \[AB = 36\]. Выразим BC: \[BC = AB \cdot \sin A = 36 \cdot \frac{5}{6} = 30\]

Теперь, используя теорему Пифагора для треугольника ABC, найдем AC: \[AC^2 + BC^2 = AB^2\] \[AC^2 = AB^2 - BC^2 = 36^2 - 30^2 = 1296 - 900 = 396\] \[AC = \sqrt{396} = 6\sqrt{11}\]

2. Шаг 2: Найдем сторону AH.

Используем, что \[\triangle ABC \sim \triangle ACH\] по двум углам (угол A - общий, \(\angle ACB = \angle AHC = 90^\circ\)). Тогда справедливо соотношение: \[\frac{AH}{AC} = \frac{AC}{AB}\]

Выразим AH: \[AH = \frac{AC^2}{AB} = \frac{396}{36} = 11\]

3. Шаг 3: Находим длину отрезка AH.

В прямоугольном треугольнике \[ABC\] высота \[CH\] делит гипотенузу \[AB\] на отрезки \[AH\] и \[HB\]. Длина отрезка \[AH\] может быть найдена через соотношение: \[AH = AC \cdot \cos A\]

Так как \[\sin A = \frac{5}{6}\], то \[\cos A = \sqrt{1 - \sin^2 A} = \sqrt{1 - \left(\frac{5}{6}\right)^2} = \sqrt{1 - \frac{25}{36}} = \sqrt{\frac{11}{36}} = \frac{\sqrt{11}}{6}\]

Тогда \[AC = \sqrt{AB^2 - BC^2} = \sqrt{36^2 - 30^2} = \sqrt{1296 - 900} = \sqrt{396} = 6\sqrt{11}\]

Итак, \[AH = AC \cdot \cos A = 6\sqrt{11} \cdot \frac{\sqrt{11}}{6} = 11\]

4. Шаг 4: Другой способ решения.

Из прямоугольного треугольника \[ACH\]: \[AH = AC \cdot \cos A\] И из прямоугольного треугольника \[ABC\]: \[AC = AB \cdot \cos A\] Подставляем одно в другое: \[AH = AB \cdot \cos^2 A = 36 \cdot \left(\frac{\sqrt{11}}{6}\right)^2 = 36 \cdot \frac{11}{36} = 11\]

5. Шаг 5: Еще способ решения.

Рассмотрим прямоугольный треугольник \[ABC\]. Высота \[CH\] является средним геометрическим для отрезков гипотенузы \[AH\] и \[HB\]. Тогда можно сказать, что \[AC^2 = AH \cdot AB\]. Выразим \[AH\]: \[AH = \frac{AC^2}{AB}\] Теперь найдем \[AC\]: \[BC = AB \cdot sinA = 36 \cdot \frac{5}{6} = 30\] \[AC = \sqrt{AB^2 - BC^2} = \sqrt{36^2 - 30^2} = \sqrt{1296 - 900} = \sqrt{396}\] \[AH = \frac{AC^2}{AB} = \frac{396}{36} = 11\]

Найдем \[HB\] Рассмотрим прямоугольный треугольник \[BCH\]. Используем, что \[BC^2 = BH \cdot AB\] Тогда \[BH = \frac{BC^2}{AB} = \frac{30^2}{36} = \frac{900}{36} = 25\]

Отсюда \[AH = AB - BH = 36 - 25 = 11\]

Но это другой отрезок, будьте внимательны.

6. Шаг 6: Рассмотрим подобие треугольников \[ACH\] и \[ABC\]

Пусть \[AH = x\], тогда \[AC = \frac{AB \cdot AH}{AC} = \frac{AB \cdot x}{AC}\] Теперь через подобие ищем: \[\frac{AC}{AB} = \frac{AH}{AC}\]

7. Шаг 7: Вернемся к предыдущему способу.

Найдем отрезок \[BH\]. Мы его нашли: \[BH = 25\] Теперь внимание! \[AH \cdot AB = AC^2\] \[AC^2 = 36x\]

Тогда \[x = \frac{AC^2}{36}\] Теперь рассмотрим треугольник \[ABC\]. В нем справедливо, что \[AC^2 = 36^2 - 30^2 = 396\] Тогда \[x = \frac{396}{36} = 11\]

Ответ: 11

Рассмотрим треугольник \[\Delta ACH\]. Мы нашли отрезок AH, \[AH = 11\]

Теперь найдем отрезок \[CH\]: Мы уже знаем, что \[AC = 6\sqrt{11}\]

Ищем \[CH\]: \[CH = \sqrt{AC^2 - AH^2} = \sqrt{396 - 121} = \sqrt{275} = 5\sqrt{11}\]

Что и требовалось найти.

Ответ: 11