В треугольнике АВС угол А равен 45°, угол В равен 60°, ВС = 4√6. Найдите длину стороны АС.

Решение:

Воспользуемся теоремой синусов для треугольника АВС:

• \[ \frac{BC}{\sin A} = \frac{AC}{\sin B} \]

Подставим известные значения:

• \[ \frac{4\sqrt{6}}{\sin 45^{\circ}} = \frac{AC}{\sin 60^{\circ}} \]

Известно, что \[ \sin 45^{\circ} = \frac{\sqrt{2}}{2} \] и \[ \sin 60^{\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2} \].

Подставим эти значения:

• \[ \frac{4\sqrt{6}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{AC}{\frac{\sqrt{3}}{2}} \]

Упростим левую часть:

• \[ 4\sqrt{6} \cdot \frac{2}{\sqrt{2}} = 8 \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{2}} = 8\sqrt{\frac{6}{2}} = 8\sqrt{3} \]

Теперь уравнение выглядит так:

• \[ 8\sqrt{3} = \frac{AC}{\frac{\sqrt{3}}{2}} \]

Выразим AC:

• \[ AC = 8\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \]
• \[ AC = \frac{8 \cdot 3}{2} = \frac{24}{2} = 12 \]

Ответ: 12