В треугольнике АВС угол А равен 45°, угол В равен 60°, ВС = 11√6. Найдите сторону АС.

Решение:

В данном треугольнике нам известны два угла и одна сторона. Нам нужно найти длину стороны AC. Для решения этой задачи воспользуемся теоремой синусов.

1. Нахождение угла C: Сумма углов в треугольнике равна 180°.
   \[ \angle C = 180° - \angle A - \angle B \]
   \[ \angle C = 180° - 45° - 60° \]
   \[ \angle C = 180° - 105° \]
   \[ \angle C = 75° \]
2. Применение теоремы синусов:
   Теорема синусов гласит: сторона треугольника относится к синусу противолежащего угла как константа.
   \[ \frac{AC}{\sin B} = \frac{BC}{\sin A} \]
   Подставим известные значения:
   \[ \frac{AC}{\sin 60°} = \frac{11\sqrt{6}}{\sin 45°} \]
3. Вычисление AC:
   \[ AC = \frac{11\sqrt{6} \cdot \sin 60°}{\sin 45°} \]
   Известно, что \( \sin 60° = \frac{\sqrt{3}}{2} \) и \( \sin 45° = \frac{\sqrt{2}}{2} \).
   \[ AC = \frac{11\sqrt{6} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} \]
   Сократим дробь:
   \[ AC = 11\sqrt{6} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}} \]
   \[ AC = 11\sqrt{6} \cdot \sqrt{\frac{3}{2}} \]
   \[ AC = 11\sqrt{6 \cdot \frac{3}{2}} \]
   \[ AC = 11\sqrt{9} \]
   \[ AC = 11 \cdot 3 \]
   \[ AC = 33 \]

Ответ: 33