11. В треугольнике АВС угол А равен 45°, АН - высота. Окружность, проходящая через точки А, Н и С, пересекает сторону АВ в точке Е. Найдите радиус этой окружности, если ЕС = 4√2.

Решение:

Смотри, тут всё просто: так как \(AH\) – высота, то угол \(AHC\) равен 90°. Значит, точки \(A\), \(H\) и \(C\) лежат на окружности, построенной на \(AC\) как на диаметре.

Тогда радиус этой окружности равен половине \(AC\), то есть \(R = \frac{AC}{2}\).

Угол \(AEC\) – внешний угол треугольника \(AHE\), поэтому \(\angle AEC = \angle AHE + \angle HAE = 90° + 45° = 135°\).

Так как точки \(A\), \(H\), \(C\) и \(E\) лежат на одной окружности, то \(\angle AHC + \angle AEC = 180°\). Отсюда следует, что \(\angle AEC = 180° - 90° = 90°\).

Рассмотрим треугольник \(AEC\). В нём \(\angle EAC = 45°\), \(\angle AEC = 135°\), тогда \(\angle ACE = 180° - 45° - 135° = 0°\). Это невозможно, значит, где-то ошибка в рассуждениях.

Так как четырехугольник \(AECH\) вписанный, то \(\angle ECH = \angle EAH = 45^\circ\). Треугольник \(ECH\) — прямоугольный, поэтому \(\angle HEC = 90^\circ - 45^\circ = 45^\circ\). Тогда треугольник \(ECH\) — равнобедренный, и \(EH = HC\).

Пусть \(EH = HC = x\). Тогда по теореме Пифагора для треугольника \(ECH\):

\[EC^2 = EH^2 + HC^2\]

\[(4\sqrt{2})^2 = x^2 + x^2\]

\[32 = 2x^2\]

\[x^2 = 16\]

\[x = 4\]

Значит, \(EH = HC = 4\). Рассмотрим треугольник \(AHC\). Он прямоугольный, и \(HC = 4\). Так как \(\angle HAC = 45^\circ\), то \(\angle ACH = 90^\circ - 45^\circ = 45^\circ\). Значит, треугольник \(AHC\) — равнобедренный, и \(AH = HC = 4\).

Тогда \(AC = \sqrt{AH^2 + HC^2} = \sqrt{4^2 + 4^2} = \sqrt{32} = 4\sqrt{2}\).

Радиус окружности, проходящей через точки \(A\), \(H\) и \(C\), равен половине \(AC\), то есть

\[R = \frac{AC}{2} = \frac{4\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{2}\]

Ответ: \(2\sqrt{2}\)