8 В треугольнике АВС стороны АВ и ВС равны, отрезок АН высота. Угол ВСА равен 31°. Найдите угол ВАН. Ответ дайте в градусах.

В треугольнике ABC стороны AB и BC равны, следовательно, он равнобедренный. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Таким образом, угол BAC также равен 31°. Сумма углов в треугольнике равна 180°. Рассмотрим треугольник ABH. AH - высота, значит, угол AHB равен 90°. Тогда угол BAH можно найти как: \[\angle BAH = 180^{\circ} - (90^{\circ} + \angle ABH)\] Так как треугольник ABC равнобедренный, то углы при основании равны, т.е. \(\angle BAC = \angle BCA = 31^{\circ}\). Угол ABC можно найти как: \[\angle ABC = 180^{\circ} - (31^{\circ} + 31^{\circ}) = 180^{\circ} - 62^{\circ} = 118^{\circ}\] Тогда угол ABH равен углу ABC, который равен 118°. Но высота AH образует с основанием BC прямой угол, поэтому рассмотрим треугольник ABH. В этом треугольнике угол AHB = 90°, угол ABH = \(\frac{118}{2}\) = 59°. Тогда угол BAH равен: \[\angle BAH = 180^{\circ} - (90^{\circ} + 59^{\circ}) = 180^{\circ} - 149^{\circ} = 31^{\circ}\] Так как \(\angle ABC = 118^{\circ}\), то \(\angle ABH = 90^{\circ} - 31^{\circ} = 59^{\circ}\). \[\angle BAH = 90^{\circ} - 59^{\circ} = 31^{\circ}\] Ответ: 59