Контрольные задания > В треугольнике АВС стороны АВ и АС равны. Медиана AD образует со стороной АВ угол в 20°. Чему равен угол С данного треугольника?
Вопрос:

В треугольнике АВС стороны АВ и АС равны. Медиана AD образует со стороной АВ угол в 20°. Чему равен угол С данного треугольника?

Смотреть решения всех заданий с листа

Ответ:

Привет! Давай разберемся с этой геометрической задачкой.

  1. Что нам дано?
    • Треугольник АВС.
    • Стороны АВ и АС равны (это значит, что треугольник равнобедренный).
    • Медиана AD.
    • Угол между медианой AD и стороной AB равен 20°.
  2. Что нужно найти? Угол С.
  3. Что мы знаем про равнобедренный треугольник? В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. В нашем случае основание — это BC, а углы при основании — это углы B и C. Значит, угол B = угол C.
  4. Смотрим на треугольник ABD. У нас есть угол BAD = 20°. Медиана AD делит сторону BC пополам.
  5. Важный момент: В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, также является высотой и биссектрисой. Но здесь медиана проведена не к основанию (BC), а к боковой стороне (AC, так как AB=AC).
  6. Рассмотрим треугольник ADC. Мы знаем, что AB=AC. AD - медиана, значит, D - середина BC.
  7. Еще одно свойство: Если AB = AC, то угол ABC = угол ACB (то есть угол B = угол C).
  8. В треугольнике ABD: Угол BAD = 20°. Угол ABD (или угол B) мы пока не знаем. Угол ADB нам тоже неизвестен.
  9. Давай подумаем иначе. Так как AB = AC, то угол ABC = угол ACB. Обозначим этот угол как x.
  10. Рассмотрим треугольник ABC. Сумма углов треугольника равна 180°. Значит, угол BAC + угол ABC + угол ACB = 180°.
  11. Угол BAC = угол BAD + угол DAC = 20° + угол DAC.
  12. Итак, 20° + угол DAC + x + x = 180°.
  13. 20° + угол DAC + 2x = 180°.
  14. Теперь вернемся к медиане AD. AD делит BC.
  15. По теореме о медиане в треугольнике (или по свойству медианы): В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к боковой стороне, не обязательно является высотой или биссектрисой.
  16. Давай используем свойство равнобедренного треугольника: Углы при основании равны. Угол B = Угол C.
  17. Рассмотрим треугольник ABD. У нас есть угол BAD = 20°. Угол ABD = x. Угол ADB = 180° - 20° - x = 160° - x.
  18. Рассмотрим треугольник ADC. Угол CAD = ? Угол ACD = x. Угол ADC = 180° - угол ADB = 180° - (160° - x) = 20° + x.
  19. Сумма углов в треугольнике ADC: Угол CAD + Угол ACD + Угол ADC = 180°.
  20. Угол CAD + x + (20° + x) = 180°.
  21. Угол CAD + 2x + 20° = 180°.
  22. Угол CAD = 160° - 2x.
  23. Теперь мы знаем, что угол BAC = угол BAD + угол DAC.
  24. Угол BAC = 20° + (160° - 2x) = 180° - 2x.
  25. В треугольнике ABC: Угол BAC + Угол ABC + Угол ACB = 180°.
  26. (180° - 2x) + x + x = 180°.
  27. 180° = 180°.
  28. Это равенство всегда верно, но оно не помогает нам найти x. Значит, мы где-то упустили важную деталь или используем не то свойство.
  29. Попробуем с другой стороны. Дано, что AB = AC. Значит, треугольник равнобедренный. Угол B = Угол C.
  30. Медиана AD. Угол BAD = 20°.
  31. Подумаем о свойстве медианы в равнобедренном треугольнике. Медиана, проведенная к боковой стороне, не имеет таких особых свойств, как медиана к основанию.
  32. Однако, есть свойство, которое может помочь. В равнобедренном треугольнике (AB=AC) углы при основании равны (угол B = угол C).
  33. Рассмотрим треугольник ABD. Угол BAD = 20°. Угол B. Угол ADB.
  34. По теореме синусов в треугольнике ABD: $$\frac{BD}{\sin(20°)} = \frac{AB}{\sin(\angle ADB)}$$.
  35. По теореме синусов в треугольнике ADC: $$\frac{CD}{\sin(\angle CAD)} = \frac{AC}{\sin(\angle ADC)}$$.
  36. Так как AD - медиана, то BD = CD.
  37. Так как AB = AC, то $$\frac{AB}{\sin(\angle ADB)} = \frac{AC}{\sin(\angle ADC)}$$.
  38. Значит, $$\frac{BD}{\sin(20°)} = \frac{CD}{\sin(\angle CAD)}$$.
  39. Так как BD = CD, то $$\sin(20°) = \sin(\angle CAD)$$.
  40. Это означает, что угол CAD = 20° или угол CAD = 180° - 20° = 160°.
  41. Угол CAD не может быть 160°, так как это угол в треугольнике. Следовательно, угол CAD = 20°.
  42. Теперь мы знаем, что угол BAC = угол BAD + угол DAC = 20° + 20° = 40°.
  43. В равнобедренном треугольнике ABC: угол ABC = угол ACB.
  44. Сумма углов: Угол BAC + Угол ABC + Угол ACB = 180°.
  45. 40° + Угол B + Угол C = 180°.
  46. Так как Угол B = Угол C, то 40° + 2 * Угол C = 180°.
  47. 2 * Угол C = 180° - 40°.
  48. 2 * Угол C = 140°.
  49. Угол C = 140° / 2 = 70°.

    50. Проверка:

    Если угол C = 70°, то угол B = 70°. Угол BAC = 40°.

    В треугольнике ABD: угол BAD = 20°, угол B = 70°, угол ADB = 180° - 20° - 70° = 90°.

    Если угол ADB = 90°, то AD перпендикулярно BC. Но AD - медиана к боковой стороне AC, а не к основанию BC.

    Ошибка в рассуждении!

    Давай вернемся к условию: AB = AC. Значит, угол B = угол C.

    Медиана AD. Угол BAD = 20°.

    Ключевое свойство, которое мы упустили: Если в треугольнике AB=AC, то медиана AD не обязательно перпендикулярна BC, но угол ADB и ADC связаны.

    Вернемся к теореме синусов, но правильно:

    В треугольнике ABD: $$\frac{BD}{\sin(20°)} = \frac{AB}{\sin(\angle ADB)}$$

    В треугольнике ADC: $$\frac{CD}{\sin(\angle CAD)} = \frac{AC}{\sin(\angle ADC)}$$

    Поскольку BD = CD (AD - медиана) и AB = AC (равнобедренный треугольник), то:

    $$\frac{AB}{\sin(\angle ADB)} = \frac{AC}{\sin(\angle ADC)}$$ => $$\sin(\angle ADB) = \sin(\angle ADC)$$

    Так как $$\angle ADB + \angle ADC = 180°$$, то $$\sin(\angle ADB) = \sin(180° - \angle ADB) = \sin(\angle ADC)$$. Это равенство всегда верно и не дает нам конкретного значения.

    Но! Если $$\sin(\angle ADB) = \sin(\angle ADC)$$, и эти углы смежные, то это возможно только если $$\angle ADB = \angle ADC = 90°$$.

    Именно это и есть ключевой момент! Если медиана AD в равнобедренном треугольнике (AB=AC) является одновременно высотой (угол ADB = 90°), это означает, что медиана проведена к основанию. Но AD - медиана к стороне BC, а не к основанию AC.

    СТОП! AB и AC - равные стороны, значит, угол B и угол C равны. Основание - BC.

    Медиана AD проведена к стороне BC. Значит, D - середина BC.

    В равнобедренном треугольнике, медиана, проведенная к основанию, является также высотой и биссектрисой.

    Значит, AD перпендикулярна BC. Угол ADB = 90°.

    Теперь рассмотрим треугольник ABD.

    У нас есть:

    • Угол BAD = 20°
    • Угол ABD (угол B) = ?
    • Угол ADB = 90°

    Сумма углов в треугольнике ABD: Угол BAD + Угол ABD + Угол ADB = 180°.

    20° + Угол B + 90° = 180°.

    Угол B + 110° = 180°.

    Угол B = 180° - 110° = 70°.

    Поскольку треугольник ABC равнобедренный с AB = AC, то углы при основании равны:

    Угол C = Угол B = 70°.

Ответ: 70°

ГДЗ по фото 📸
Подать жалобу Правообладателю