В треугольнике АВС найди ∠B, если известно, что ∠C = 135° и BC : AC = (√3 - 1) : √2

Решение:

Для решения этой задачи используем теорему синусов. Согласно теореме синусов, отношение стороны треугольника к синусу противолежащего угла постоянно для всех сторон:

\( \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} \)

В нашем случае стороны противолежащие углам A, B, C обозначим как a, b, c соответственно. Таким образом, \( a = BC \) и \( b = AC \). Угол \( C = 135^{\circ} \).

По условию задачи:

\( \frac{BC}{AC} = \frac{\sqrt{3} - 1}{\sqrt{2}} \)

Из теоремы синусов имеем:

\( \frac{BC}{\sin A} = \frac{AC}{\sin B} \)

Перегруппируем члены:

\( \frac{BC}{AC} = \frac{\sin A}{\sin B} \)

Следовательно:

\( \frac{\sin A}{\sin B} = \frac{\sqrt{3} - 1}{\sqrt{2}} \)

Сумма углов треугольника равна 180°:

\( A + B + C = 180^{\circ} \)

\( A + B + 135^{\circ} = 180^{\circ} \)

\( A + B = 180^{\circ} - 135^{\circ} \)

\( A + B = 45^{\circ} \)

Выразим \( A \) через \( B \):

\( A = 45^{\circ} - B \)

Подставим это в уравнение с синусами:

\( \frac{\sin(45^{\circ} - B)}{\sin B} = \frac{\sqrt{3} - 1}{\sqrt{2}} \)

Используем формулу синуса разности углов: \( \sin(x - y) = \sin x \cos y - \cos x \sin y \).

\( \sin(45^{\circ} - B) = \sin 45^{\circ} \cos B - \cos 45^{\circ} \sin B \)

\( \sin(45^{\circ} - B) = \frac{\sqrt{2}}{2} \cos B - \frac{\sqrt{2}}{2} \sin B \)

Подставляем обратно в уравнение:

\( \frac{\frac{\sqrt{2}}{2} \cos B - \frac{\sqrt{2}}{2} \sin B}{\sin B} = \frac{\sqrt{3} - 1}{\sqrt{2}} \)

Вынесем \( \frac{\sqrt{2}}{2} \) из числителя:

\( \frac{\frac{\sqrt{2}}{2}(\cos B - \sin B)}{\sin B} = \frac{\sqrt{3} - 1}{\sqrt{2}} \)

\( \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\cos B - \sin B}{\sin B} = \frac{\sqrt{3} - 1}{\sqrt{2}} \)

Разделим обе части на \( \frac{\sqrt{2}}{2} \) (или умножим на \( \frac{2}{\sqrt{2}} = \sqrt{2} \)):

\( \frac{\cos B - \sin B}{\sin B} = \frac{\sqrt{3} - 1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{2}{\sqrt{2}} \)

\( \frac{\cos B - \sin B}{\sin B} = \frac{2(\sqrt{3} - 1)}{2} \)

\( \frac{\cos B - \sin B}{\sin B} = \sqrt{3} - 1 \)

Разделим числитель на \( \sin B \):

\( \frac{\cos B}{\sin B} - \frac{\sin B}{\sin B} = \sqrt{3} - 1 \)

\( \text{ctg} B - 1 = \sqrt{3} - 1 \)

\( \text{ctg} B = \sqrt{3} \)

Известно, что \( \text{ctg } 30^{\circ} = \sqrt{3} \).

Следовательно, \( B = 30^{\circ} \).

Ответ: 30°.