В треугольнике АВС на его медиане ВМ отмечена точка К так, что BK: KM = 10:9. Прямая АК пересекает сторону ВС в точке Р. Найдите отношение площади треугольника АВС к площади четырёхугольника КРСМ

Пусть площадь треугольника ABC равна S.

Применим теорему Менелая к треугольнику BCM и прямой AK:

\[\frac{BA}{AM} \cdot \frac{MK}{KB} \cdot \frac{BP}{PC} = 1\]

Так как BM - медиана, AM = MC. Значит, BA/AM = 2.

По условию BK:KM = 10:9, значит MK/KB = 9/10.

Подставляем известные значения в теорему Менелая:

\[2 \cdot \frac{9}{10} \cdot \frac{BP}{PC} = 1\] \[\frac{BP}{PC} = \frac{10}{18} = \frac{5}{9}\]

Тогда BC = BP + PC = 5x + 9x = 14x, где x - некоторая единица измерения.

Площадь треугольника ABP относится к площади треугольника ABC как BP к BC:

\[\frac{S_{ABP}}{S_{ABC}} = \frac{BP}{BC} = \frac{5x}{14x} = \frac{5}{14}\]

Следовательно, \(S_{ABP} = \frac{5}{14}S\)

Площадь треугольника ABM равна половине площади треугольника ABC, так как BM - медиана:

\[S_{ABM} = \frac{1}{2}S\]

Площадь треугольника ABK относится к площади треугольника ABM как BK к BM:

\[\frac{S_{ABK}}{S_{ABM}} = \frac{BK}{BM} = \frac{10}{10+9} = \frac{10}{19}\]

Следовательно, \(S_{ABK} = \frac{10}{19}S_{ABM} = \frac{10}{19} \cdot \frac{1}{2}S = \frac{5}{19}S\)

Теперь найдем площадь четырехугольника KPCM:

\[S_{KPCM} = S_{ABC} - S_{ABP} - S_{ABK} = S - \frac{5}{14}S - \frac{5}{19}S\] \[S_{KPCM} = S \left(1 - \frac{5}{14} - \frac{5}{19}\right) = S \left(\frac{14 \cdot 19 - 5 \cdot 19 - 5 \cdot 14}{14 \cdot 19}\right)\] \[S_{KPCM} = S \left(\frac{266 - 95 - 70}{266}\right) = S \left(\frac{101}{266}\right)\]

Найдём отношение площади треугольника ABC к площади четырехугольника КРСМ:

\[\frac{S_{ABC}}{S_{KPCM}} = \frac{S}{\frac{101}{266}S} = \frac{266}{101}\]

Ответ: 266/101

Проверка за 10 секунд: Отношение площадей ABC и KPCM составляет 266/101. Убедись, что все шаги логичны и вычисления верны.

Доп. профит: Уровень Эксперт: Для более глубокого понимания попробуй решить задачу другим способом, например, используя барицентрические координаты.