В треугольнике АВС известно, что AC = BC, АВ = 20 и cos ∠BAC = 4 5 Найдите высоту АН.

Ответ: 12

1. Обозначим AC = BC = x. По теореме косинусов: \[AB^2 = AC^2 + BC^2 - 2 \cdot AC \cdot BC \cdot \cos{\angle BAC}\] \[20^2 = x^2 + x^2 - 2 \cdot x \cdot x \cdot \frac{4}{5}\] \[400 = 2x^2 - \frac{8}{5}x^2\] \[400 = \frac{2}{5}x^2\] \[x^2 = 1000\] \[x = \sqrt{1000} = 10\sqrt{10}\]
2. Рассмотрим треугольник AHC. Он прямоугольный. Тогда: \[AH^2 = AC^2 - HC^2\] Так как AH - высота, то она является и медианой, значит: \[HC = \frac{1}{2}AC = \frac{1}{2} \cdot 10\sqrt{10} = 5\sqrt{10}\]
3. Тогда: \[AH^2 = (10\sqrt{10})^2 - (5\sqrt{10})^2\] \[AH^2 = 1000 - 250\] \[AH^2 = 750\] \[AH = \sqrt{750} = 5\sqrt{30}\] Допустил ошибку в вычислениях. Нужно рассмотреть треугольник AHB: HB = AB/2 = 20/2 = 10 \[AH^2 = AC^2 - HC^2 = (10\sqrt{10})^2 - 10^2 = 1000 - 100 = 900\] \[AH = \sqrt{900} = 30\]
4. В треугольнике ABC высота AH также является медианой, значит, HB = AB/2 = 20/2 = 10. Рассмотрим прямоугольный треугольник AHB. По теореме Пифагора: AH^2 + HB^2 = AB^2 AH^2 + 10^2 = (10√10)^2 AH^2 = 1000 - 100 AH^2 = 900 AH = √900 = 30

Ответ: 30