В треугольнике АВС известно, что DE — средняя линия. Площадь треугольника CDE равна 25. Найдите площадь треугольника АВС.; На каком расстоянии (в метрах) от фонаря стоит человек ростом 2 м, если длина его тени равна 1 м, высота фонаря 9 м?

1. Найдем площадь треугольника ABC:

Так как DE — средняя линия треугольника ABC, то треугольник CDE подобен треугольнику ABC с коэффициентом подобия $$k = \frac{1}{2}$$.

Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия, то есть $$\frac{S_{CDE}}{S_{ABC}} = k^2 = \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{4}$$.

Из этого следует, что $$S_{ABC} = 4 \cdot S_{CDE} = 4 \cdot 25 = 100$$.

Площадь треугольника ABC равна 100.

2. Найдем расстояние от человека до фонаря:

Обозначим высоту фонаря как H (9 м), высоту человека как h (2 м), длину тени человека как x (1 м), а расстояние от человека до фонаря как y (искомая величина).

Рассмотрим два подобных треугольника: один образован фонарем и всей длиной от фонаря до конца тени, а другой образован человеком и его тенью.

Из подобия этих треугольников следует пропорция: $$\frac{H}{h} = \frac{x+y}{x}$$.

Подставим известные значения: $$\frac{9}{2} = \frac{1+y}{1}$$.

Решим уравнение относительно y: $$9 = 2(1+y)$$; $$9 = 2 + 2y$$; $$7 = 2y$$; $$y = \frac{7}{2} = 3.5$$.

Расстояние от человека до фонаря равно 3.5 метра.