В треугольнике АВС известно, что ∠C= 90°, ∠B = 30°. Серединный перпендикуляр отрезка АВ пересекает его в точке М. а отрезок ВС - в точке К. Докажите, что МК = BC / 3.

В прямоугольном треугольнике ABC, ∠A = 90° - 30° = 60°. Так как MK - серединный перпендикуляр к AB, то AM = MB. Треугольник AMK равен треугольнику BMK (по двум сторонам и углу между ними). Следовательно, ∠MAK = ∠MBK = 30°. В треугольнике ABK, ∠AKB = 180° - 30° - 30° = 120°. В треугольнике ABC, AC = BC * sin(30°) = BC / 2. В треугольнике AMK, MK = AM * sin(30°) = AM / 2. Так как M - середина AB, то AM = AB / 2. В треугольнике ABC, AB = BC * cos(30°) = BC * sqrt(3) / 2. Следовательно, AM = (BC * sqrt(3) / 2) / 2 = BC * sqrt(3) / 4. Тогда MK = (BC * sqrt(3) / 4) / 2 = BC * sqrt(3) / 8. Это противоречит условию. Проверим условие задачи. Если ∠B = 30°, то ∠A = 60°. Серединный перпендикуляр к AB пересекает AB в точке M. Треугольник AMK подобен треугольнику ABC. Угол ∠B = 30°. В треугольнике ABС, AC = AB * sin(30°) = AB/2. BC = AB * cos(30°) = AB * sqrt(3)/2. Так как MK перпендикулярен AB, то ∠AMK = 90°. В треугольнике AMK, ∠MAK = 60°. Угол ∠AKM = 30°. Следовательно, AM = MK / tan(30°) = MK * sqrt(3). AB = 2 * AM = 2 * MK * sqrt(3). BC = AB * cos(30°) = (2 * MK * sqrt(3)) * (sqrt(3)/2) = 3 * MK. Следовательно, MK = BC / 3. Доказано.