В треугольнике АВС известно, что АС=ВС, AB=18, tgA=2√22/9. Найдите длину стороны АС.

Решение:

Задачка про треугольник! Давай разберемся, что нам дано и что нужно найти.

Дано:

• Треугольник АВС.
• АС = ВС (это значит, что треугольник равнобедренный, а углы при основании АВ равны, то есть ∠A = ∠B).
• AB = 18 (длина основания).
• \[ \text{tg}A = \frac{2\sqrt{22}}{9} \]

Найти: Длину стороны АС.

Что делаем:

1. Вспоминаем свойства равнобедренного треугольника. Так как АС = ВС, то ∠A = ∠B.
2. Строим высоту. Проведем высоту СН из вершины С к основанию АВ. В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является также и медианой. Это значит, что она делит основание АВ пополам.
3. Находим длину отрезка АН.\[ \text{AH} = \frac{AB}{2} = \frac{18}{2} = 9 \]
4. Работаем с прямоугольным треугольником АСН. В нем мы знаем катет АН и тангенс угла А. Вспоминаем, что тангенс угла в прямоугольном треугольнике — это отношение противолежащего катета к прилежащему:\[ \text{tg}A = \frac{CH}{AH} \]
5. Находим длину высоты СН. Из формулы тангенса выразим СН:\[ CH = AH \cdot \text{tg}A \] Подставляем известные значения:\[ CH = 9 \cdot \frac{2\sqrt{22}}{9} = 2\sqrt{22} \]
6. Находим длину гипотенузы АС. Теперь у нас есть прямоугольный треугольник АСН, где мы знаем оба катета: АН = 9 и СН = $$2\sqrt{22}$$. Используем теорему Пифагора:\[ AC^2 = AH^2 + CH^2 \] Подставляем значения:\[ AC^2 = 9^2 + (2\sqrt{22})^2 \] Рассчитываем:\[ AC^2 = 81 + (4 \cdot 22) \] \( AC^2 = 81 + 88 \)\[ AC^2 = 169 \]
7. Извлекаем квадратный корень.\[ AC = \sqrt{169} = 13 \]

Ответ: 13